1、考点2 两异面直线所成的角（2018天津卷（文）如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC平面ABD，点M为棱AB的中点，AB2，AD23，BAD90.（1）求证：ADBC；（2）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（3）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值【解析】（1）证明由平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，ADAB，AD平面ABD，可得AD平面ABC，故ADBC（2）如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND因为M为棱AB的中点，所以MNBC所以DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角在RtDAM中，AM1，故DMAD2+AM213.因为AD平面ABC，所以A
2、DAC在RtDAN中，AN1，故DNAD2+AN213.在等腰三角形DMN中，MN1，可得cosDMN12MNDM1326.所以异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326.（3）如图，连接CM.因为ABC为等边三角形，M为边AB的中点，所以CMAB，CM3.又因为平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，而CM平面ABC，故CM平面ABD，所以CDM为直线CD与平面ABD所成的角在RtCAD中，CDAC2+AD24.在RtCMD中，sinCDMCMCD34.所以直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34.【答案】见解析（2018全国卷（文）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A22B32C52D72【解析】如图，因为ABCD，所以AE与CD所成角为EAB在RtABE中，设AB2，则BE5，则tanEABBEAB52，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为52.【答案】C
