1、第1课时函数的极值学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一函数极值的定义1极小值点与极小值若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，就把a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值2极大值点与极大值若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x
2、0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值2求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)列表；(4)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值1导数为0的点一定是极值点()2函数的极大值一定大于极小值()3函数yf(x)一定有极大值和极小值()4函数的极值点是自变量的值，极值是函数值()一、求函数的极值例1求下列函数的极值：(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x)xaln x(aR)解(1)f(x)3x26x9，令f(x)0，即3x26x90，解得x11，x23.当x变化时，f(x)，f
3、(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值当x1时，函数yf(x)有极大值，且f(1)10；当x3时，函数yf(x)有极小值，且f(3)22.(2) f(x)xaln x的定义域为(0，)，由f(x)1，x0，知当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值反思感悟函数极值和极值点的
4、求解步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况跟踪训练1(1)求函数f(x)2的极值解函数f(x)的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可以看出，当x1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3；当x1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.(2)已知函数f(x)x1，aR.求此函数的极值解函数的定义域
5、为x|x0，f(x)1.当a0时，显然f(x)0，这时函数f(x)在区间(，0)，(0，)上均单调递增，此时函数无极值当a0时，令f(x)0，解得x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，0)(0，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值由上表可知，当x时，函数取得极大值f()21.当x时，函数取得极小值f()21.综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在x处取得极大值21，在x处取得极小值21.二、由极值求参数的值或取值范围例2(1)若函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则a_，b_.答案411解析f(x)3x22axb，依题意得即解
6、得或但由于当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，故f(x)在R上单调递增，不可能在x1处取得极值，所以不符合题意，应舍去而当a4，b11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，11.(2)已知函数f(x)x3(m3)x2(m6)x(xR，m为常数)，在区间(1，)内有两个极值点，求实数m的取值范围解f(x)x2(m3)xm6.因为函数f(x)在(1，)内有两个极值点，所以f(x)x2(m3)xm6在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示所以解得m3.故实数m的取值范围是(3，)反思感悟已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存
7、在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f(x)0或f(x)0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立跟踪训练2(1)若函数f(x)axln x在x处取得极值，则实数a的值为()A. B. C2 D.答案A解析因为f(x)a，所以f0，即a0，解得a.(2)已知函数f(x)x3x2ax1.若函数的极大值点是1，求a的值；若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围解f(x)x22xa，由题意得，f(1)12a0，解得a3，
8、则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值，故a3.由题意得，方程x22xa0有一正一负两个根，设为x1，x2，则x1x2a0，故a的取值范围是(，0)三、利用函数极值解决函数零点(方程根)问题例3已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m.则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(
9、x)0，得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x4(4，)g(x)00g(x)极大值极小值则函数g(x)的极大值为gm，极小值为g(4)16m.由g(x)的图象与x轴有三个不同的交点，得解得16m.实数m的取值范围为.反思感悟(1)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便(2)解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值跟踪训练3若函数f(x)x34x4的图象与直线ya恰有三个不同的交点，则实数a的
10、取值范围是_答案解析f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2时，函数取得极大值f(2)；当x2时，函数取得极小值f(2).且f(x)在(，2)上单调递增，在(2,2)上单调递减，在(2，)上单调递增根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，结合图象知a0；在区间(0，)上，y0.故当x0时，函数yxex取得极大值2设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数yf(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)
11、有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值3函数f(x)ln xx在区间(0，e)上的极大值为()Ae B1C1e D0答案B解析函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.令f(x)0，得x1.当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，e)时，f(x)0，解得a6或a3.6f(x)的极小值为_答案解析f(x).令f(
12、x)0，得x1；令f(x)0，得2x1.所以f(x)在(，2)，(1，)上单调递减，在(2,1)上单调递增，所以f(x)极小值 f(2).7设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点，则常数a_.答案解析因为f(x)2bx1，由题意得所以a.8已知关于x的函数f(x)x3bx2cxbc，如果函数f(x)在x1处取得极值，则b_，c_.答案13解析f(x)x22bxc，由解得或若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，此时f(x)没有极值；若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)，当3x0，当x1时，f(x)0)由题意知，曲线在x1处的切线斜率为0，即f(1)0，从
13、而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上单调递增故f(x)在x1处取得极小值，极小值为f(1)3，无极大值10设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？解(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，得x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)的极大值是fa，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1
14、)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值fa，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0，即a0，a1，当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点11设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()答案C解析因为f(x)在x2处取得极小值，所以当x2时，f(x)单调递减，即f(x)0；当x2时，f(x)单调递增，即f(x)0.所以当x2时，yxf(x)0；当x2时，yxf(x)0；当2
15、x0时，yxf(x)0；当x0时，yxf(x)0；当x0时，yxf(x)0.结合选项中的图象知选C.12函数yxex在其极值点处的切线方程为_答案y解析由题意知yexxex，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y.13若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_答案1,5)解析f(x)3x22xa，函数f(x)在区间(1,1)上恰有一个极值点，即f(x)0在(1,1)内恰有一个根又函数f(x)3x22xa的对称轴为x.应满足1a0时，令f(x)0，解得x或x.令f(x)0，解得x.若f(x)在(
16、0,1)内有极小值，则01.解得0a1.15已知函数f(x)ax3bx2cx的图象如图所示，且f(x)在xx0与x2处取得极值，则f(1)f(1)的值一定()A等于0 B大于0C小于0 D小于或等于0答案B解析f(x)3ax22bxc.令f(x)0，则x0和2是该方程的根x020.由题图知，f(x)0，则b0，f(1)f(1)2b，f(1)f(1)0.16设函数f(x)(a1)x24axb，其中a，bR.(1)若函数f(x)在x3处取得极小值，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)若函数f(x)在(1,1)上只有一个极值点，求实数a的取值范围解(1)因为f(x)x22(a1)x4a，所以f(3)96(a1)4a0，得a.由f(3)27943b，解得b4.(2)因为f(x)x22(a1)x4a(x2a)(x2)，令f(x)0，得x2a或x2.当a1时，f(x)的单调递增区间为(，2)，(2a，)；当a1时，f(x)的单调递增区间为(，)；当a1时，f(x)的单调递增区间为(，2a)，(2，)(3)由题意可得即化简得解得a，所以实数a的取值范围是.
