高考真题（2019全国III卷（文）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.（1）证明：直线过定点：（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.【解析】（1）证明：设,则。又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立。所以直线恒过定点.（2）由（1）得直线方程为，和抛物线方程联立得：化简得.于是,设为线段的中点，则由于，而,与向量平行，所以，解得或.当时，所求圆的方程为;当时，或，所求圆的方程为.所以圆的方程为或.【答案】（1）见详解；（2）或.
