1、抛物线的简单几何性质【学习目标】课程标准学科素养1.掌握抛物线的几何性质(重点) 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点准线范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴顶点离心率e2.焦点弦直线过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|x1，|BF|x2，故|AB|.3直线与抛物线的位置
2、关系直线与抛物线有三种位置关系：、和设直线ykxm与抛物线y22px(p0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将ykxm代入y22px，消去y并化简，得k2x22(mkp)xm20.k0时，直线与抛物线只有交点；k0时，0直线与抛物线有公共点0直线与抛物线只有公共点0直线与抛物线公共点【小试牛刀】1抛物线关于顶点对称()2抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()3抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同()4抛物线y22px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p()5抛物线yx2的准线方程为x()【经典例题】题型一抛物线性质的应用把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开
3、口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为_(2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|4，求抛物线的方程跟踪训练1 已知抛物线y28x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛
4、物线的内接等腰三角形OAB，|OA|OB|，若焦点F是OAB的重心，求OAB的周长题型二直线与抛物线的位置关系直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切例2已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点跟踪训练2若抛物线y24x与直线yx4相交于不同的两点A，B，求证
5、OAOB.题型三中点弦及弦长公式“中点弦”问题解题方法例3已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，跟踪训练3 过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程题型四抛物线的综合应用例4 求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离跟踪训练4 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值【当堂达标】1在抛物线y216x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标
6、为()A(4，2)B(4，2)C(2,4)D(2，4)2以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28y3若抛物线y22x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()ABCD4设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是()A(2，2)B(1，2)C(1,2)D(2,2)5过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条B3条C2条D1条6过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1
7、)，B(x2，y2)两点，如果x1x26，则|AB|_.7已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是_8已知抛物线xy2与过点(1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积等于时，求k的值9.已知yxm与抛物线y28x交于A，B两点(1)若|AB|10，求实数m的值；(2)若OAOB，求实数m的值10.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程【参考答案】【自主学习】xxyyx轴y轴(0,0)1x1x2p相离相切相交一个相交两个相切一个相离没有【小试牛刀】【经典例题】例1
8、 (1)y23x或y23x根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为，交点横坐标为1，则抛物线过点(1，)或(1，)，设抛物线方程为y22px或y22px(p0)，则2p3，从而抛物线方程为y23x或y23x.(2)解如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30，在RtACE中，|AF|4，|AC|43a，2|AE|AC|，43a8，从而得a，BDFG，p2.因此抛物线的方程是y24x.跟踪训练1 解(1)抛物线y28x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x2，x轴，x0.
9、(2)如图所示，由|OA|OB|可知ABx轴，垂足为点M，又焦点F是OAB的重心，则|OF|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|OF|3，所以M(3,0)故设A(3，m)，代入y28x得m224；所以m2或m2，所以A(3,2)，B(3，2)，所以|OA|OB|，所以OAB的周长为24.例2 解联立消去y，得k2x2(2k4)x10.(*)当k0时，(*)式只有一个解x，y1，直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴当k0时，(*)式是一个一元二次方程，(2k4)24k216(1k)当0，即k1，且k0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；当0，即k1时，l与C有一个公共点，此时
10、直线l与C相切；当1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离综上所述，当k1或0时，l与C有一个公共点；当k1时，l与C没有公共点跟踪训练2 证明由消去y，得x212x160.直线yx4与抛物线相交于不同两点A，B，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x212，x1x216.x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)x1x2x1x24(x1x2)161616412160，即OAOB.例3 解由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx轴，则|AB|2pp，不满足题意所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为yk，k0.由消去x，整理得ky22pykp20
11、.由根与系数的关系得y1y2，y1y2p2.所以|AB|2pp，解得k2.所以AB所在的直线方程为2xyp0或2xyp0.跟踪训练3 解法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y8x1，y8x2，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又y1y22，y1y24(x1x2)，即4，kAB4.AB所在直线的方程为y14(x4)，即4xy150.法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为yk(x4)1.联立消去x，得ky28y32k80，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标由根与系数的关系得y1
12、y2.又y1y22，k4.AB所在直线的方程为4xy150.例4 解方法一设A(t，t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x3y80的距离d2.所以当t时，d有最小值.方法二如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，由消去y得3x24xm0，1612m0，m.故最小距离为.跟踪训练4 解(1)由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得222p1，解得p2，故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB，即.又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1，x2，从而
13、有，即，得y1y24，故直线AB的斜率kAB1.【当堂达标】1.D抛物线y216x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有所以符合题意的点为(2，4)2.C解析设抛物线方程为y22px或y22px(p0)，依题意得x，代入y22px或y22px得|y|p，2|y|2p8，p4.抛物线方程为y28x或y28x.3.A线段AB所在的直线方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1.4.B由题意知F(1,0)，设A，则，由4得y02，点A的坐标为(1，2)，故选B.5.B解析当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条，
14、故选B.6.8解析因为直线AB过焦点F(1,0)，所以|AB|x1x2p628.7.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2y，可得p.|AB|y1y2p4，y1y24，故AB的中点的纵坐标是.8.解过点(1,0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由方程组消去x整理得ky2yk0，14k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1y2，y1y21.设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，SAOB1，解得k.9.解由得x2(2m8)xm20.由(2m8)24m26432m0
15、，得m2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x282m，x1x2m2，y1y2m(x1x2)x1x2m28m.(1)因为|AB|10，所以m，经检验符合题意(2)因为OAOB，所以x1x2y1y2m28m0，解得m8或m0(舍去)所以m8，经检验符合题意10.解当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y22px(p0)，则焦点F，直线l的方程为yx.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|AF|BF|AA1|BB1|x1x2p6，x1x26p.由消去y，得2px，即x23px0.x1x23p，代入式得3p6p，p.所求抛物线的标准方程是y23x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y23x.
