1、双曲线的简单几何性质【学习目标】课程标准学科素养1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.了解直线与双曲线相交的相关问题1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点轴长实轴长，虚轴长离心率渐近线yx思考：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？2双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的叫做双曲线的中心(2)等轴双曲线的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e.3直线与双曲线的位置关系将ykxm与1联立消去y得一元方程(b2
2、a2k2)x22a2kmxa2(m2b2)0.的取值位置关系交点个数k时相交只有交点k且0有交点k且0相切只有交点k且0相离公共点【小试牛刀】1双曲线1与1(a0，b0)的形状相同()2双曲线1与1(a0，b0)的渐近线相同()3等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e.()4椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同()5双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点()【经典例题】题型一根据双曲线方程研究几何性质由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质提醒：求性质时
3、一定要注意焦点的位置例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程题型二由几何性质求双曲线的标准方程1由几何性质求双曲线标准方程的解题思路由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)2常见双曲线方程的设法(1)渐近线为yx的双曲线方程可设为(0，m0，n0)；如果两条渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为A2x2B2y2m(m0，
4、A0，B0)(2)与双曲线1或1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为或(0)(3)与双曲线1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为(0)或(0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置(4)与椭圆1(ab0)共焦点的双曲线系方程可设为1(b2a2)例2根据以下条件，求双曲线的标准方程(1)过点P(3，)，离心率为；(2)与双曲线1有共同渐近线，且过点(3,2)跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx.题型三求双曲线的离心率求双曲线离心率的方法(1)若可求得a，c，则直接利用e得解(2)若已知a，b，可直接利用e得解(
5、3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解例3 已知点(2,3)在双曲线C：1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_跟踪训练3 已知双曲线的一条渐近线方程为y2x，则其离心率为_题型四直线与双曲线的位置关系直线与双曲线位置关系的判定方法通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2bxc0的形式，在a0的情况下考查方程的判别式0时，直线与双曲线有两个不同的公共点0时，直线与双曲线只有一个公共点0，b0)的渐近线与圆(x2)2y21相切，求双曲线的离心率10已知双曲线y21，求过点A (3，1)
6、且被点A平分的弦MN所在直线的方程【参考答案】【自主学习】(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)2a2be1yx思考：渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同对称中心实轴和虚轴等长一个两个一个没有【小试牛刀】【经典例题】例1 解双曲线的方程化为标准形式是1，a29，b24，a3，b2，c.又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yx.跟踪训练1解把方程9y216x2144化为标准方程为1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)；离心率e
7、；渐近线方程为yx.例2 解(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为1(a0，b0)，e，2，即a2b2.又双曲线过P(3，)，1，由得a2b24，故双曲线方程为1.若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为1(a0，b0)，同理有a2b2，1，由得a2b24(舍去)综上，双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为(0)，将点(3,2)代入得，双曲线方程为，即双曲线的标准方程为1.跟踪训练2 解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8，双曲线的标准方程为1或1.(2)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)，当0时，a24，2a26.当0时，a
8、29，2a261.双曲线的标准方程为1或1.例3 2由题意知1，c2a2b24，得a1，b，e2.跟踪训练3 或当焦点在x轴上时，2，这时离心率e.当焦点在y轴上时，2，即，这时离心率e.例4 解(1)联立方程组消去y并整理得(1k2)x22kx20.直线与双曲线有两个不同的交点，则解得k，且k1.若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1k2)x22kx20，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.又点O(0,0)到直线ykx1的距离d，SAOB|AB|d，即2k43k20，解得k
9、0或k.实数k的值为或0.跟踪训练4 解(1)设双曲线方程为1(a，b0)，由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(2,0)，(2,0)，则|PF1|PF2|22a，所以a1，又c2，所以b，所以双曲线方程为x21.（2）题意可知直线m的方程为yx2，联立双曲线及直线方程消去y得2x24x70，设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x22，x1x2，由弦长公式得|AB|x1x2|6.【当堂达标】1.B解析双曲线方程x28y232化为标准方程为1，可得a4，b2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.2. C由题意知a259，解得a2，故e.3.A解析令y0，得x4，等轴双曲线
10、的一个焦点为(4,0)，c4，a2b2c2168，故选A.4. 5双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.5. 1由焦点坐标，知c2，由e，可得a4，所以b2，则双曲线的标准方程为1.6. 3双曲线的左焦点为(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为y(x2)，即xy20，由得8y212y90，则y1y2，y1y2.|AB|3.7. xy30设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，易知k存在且k0，则x4y4，x4y4，两式相减，得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，又点P(4,1)为线
11、段AB的中点，x1x28，y1y22.代入，得(x1x2)(y1y2)0，k1.因此直线l的方程是y11(x4)，即xy30.8. 解易知k2，将ykx代入4x2y216得关于x的一元二次方程(4k2)x2160，由0可得2k0，b0)的渐近线方程为yx，圆(x2)2y21的圆心为(2,0)，半径为1，则由圆心到直线的距离为1，可得1，解得ab，则ca，e.10. 解法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y1k(x3)，即ykx3k1，由消去y，整理得(14k2)x28k(3k1)x36k224k80.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x2.A(3，1)为MN的中点，3，即3，解得k.当k时，满足0，符合题意，所求直线MN的方程为yx，即3x4y50.法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N均在双曲线上，两式相减，得yy，.点A平分弦MN，x1x26，y1y22.kMN.经验证，该直线MN存在所求直线MN的方程为y1(x3)，即3x4y50.
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有