1、用空间向量研究直线、平面的位置关系【学习目标】课程标准学科素养1.了解空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量.（难点）3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行以及垂直问题（重点）1、直观想象2、数学运算3、数学抽象【自主学习】1. 空间中点、直线、平面的向量表示（1）点的向量表示在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示。我们把向量称为点P的。(2)直线的向量表示条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的)形式在直线l上取a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得t(3)平面的向
2、量表示通过平面上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l，直线l的，叫做平面的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的2.平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：(1)设平面的法向量为n(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个的向量a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组(4)解方程组，取其中的，即得平面的一个法向量3.空间中直线、平面的平行设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmakb(kR)线面平行la面面平行v4. 空间中直线、平面的垂直设
3、直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，直线m的方向向量为b(a2，b2，c2)，平面的法向量(a3，b3，c3)，平面的法向量为v(a4，b4，c4)，则线线垂直lma1a2b1b2c1c20线面垂直la面面垂直v v0【小试牛刀】1.判断正错(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行()(2)若直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2,3,2)，则l1l2.()(3)平面的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量()(4)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直()(5)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这
4、两个平面垂直()2若A(1,0，1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A(2,2,6) B(1,1,3)C(3,1,1) D(3,0,1)3已知平面的法向量为a(1,2，2)，平面的法向量为b(2，4，k)，若，则k等于()A5 B4 C4 D5【经典例题】题型一求平面的法向量例1 如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ADBC，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量跟踪训练 1 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量题型二空间中直线、平面
5、的平行问题注意：利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题例2已知u是平面的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u(3,1,2)，a(2,2,2)，则l与的位置关系是_例3 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.跟踪训练 2在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中点证明：PA平面EDB.题型三空间中直线、平面的垂直问题例4 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中
6、，AC3，BC4，AB5，AA14，求证：ACBC1.例5 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点(1)求证：平面AED平面A1FD1；(2)在直线AE上求一点M，使得A1M平面AED.跟踪训练3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点求证：A1O平面GBD.【当堂达标】1下列命题中，正确命题的个数为()若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则 n1n20；若n是平面的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面平行，则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直A1 B2 C
7、3 D42已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量若l1l2，则()Ax6，y15 Bx3，yCx3，y15 Dx6，y3设直线l1，l2的方向向量分别为a(2,2,1)，b(3，2，m)，若l1l2，则m等于()A2 B2 C6 D104设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()AlBlClDl或l5在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_(填序号)；.6已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2)，b(x，2,3)，且，则x_.7在三棱锥SABC中，SABSACACB90，AC2，BC，SB，则异面直线SC与BC是否
8、垂直_(填“是”或“否”)8.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点(1)求证：BM平面ADEF；(2)求证：BC平面BDE；(3)证明平面BCE平面BDE.【参考答案】【自主学习】1.位置向量方向向量方向向量2.不共线一组解3. aba0kv(kR)4. ab0ak(kR)a3a4b3b4c3c40【小试牛刀】1.2.A解析A，B在直线l上，(1,1,3)，与共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量3.D解析，ab，ab282k0，k5.【经典例题】例1 解以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴
9、，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则，.向量是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，则即取x2，得y1，z1，故平面SDC的一个法向量为(2，1,1)跟踪训练 1解设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，由题意知(1,1,0)，(1,0，1)n，n，解得令x1，则yz1.平面ABC的一个法向量为n(1,1,1)例2 l或l解因为ua(3,1,2)(2,2,2)3(2)12220.所以ua，所以l或l.例3 证明(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空
10、间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.跟踪训练 2 证明如图所示，
11、建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PDDCa.方法一连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，)因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为(，0)，所以(，0，)又(a,0，a)，所以2，这表明PAEG.而EG平面EDB，且PA平面EDB，所以PA平面EDB.方法二设平面BDE的法向量为n(x，y，z)，(0，)，(a，)，则有即即令y1，则所以n(1，1,1)，又(a,0，a)，所以n(1，1,1)(a,0，a)aa0.所以n.所以PA平面EDB.例4 证明直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC
12、4，AB5，AC，BC，C1C两两垂直如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz. 则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，(3,0,0)，(0，4,4)，0.ACBC1.例5 (1)证明以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，(2,0,0)，(2,2,1)，(0,1，2)设平面AED的一个法向量为n1(x1，
13、y1，z1)由得令y11，得n1(0,1，2)同理，平面A1FD1的一个法向量为n2(0,2,1)n1n2(0,1，2)(0,2,1)0，n1n2，平面AED平面A1FD1.(2)解由于点M在直线AE上，因此可设(0,2,1)(0,2，)，则M(2,2，)，(0,2，2)要使A1M平面AED，只需n1，即，解得.故当AMAE时，A1M平面AED.跟踪训练3 证明方法一如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，(1，1,2)，(1,1,0)
14、，(2,0,1)，而1100，2020.，即OA1OB，OA1BG，而OBBGB，OA1平面GBD.方法二同方法一建系后，设面GBD的一个法向量为n(x，y，z)，则，令x1得z2，y1，平面GBD的一个法向量为(1，1,2)，显然(1,1，2)n，n，A1O平面GBD.【当堂达标】1.C解析中平面，可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知正确2.D解析由l1l2得，解得x6，y.3.D解析l1l2，ab0，2322m0，m10.4.D解析ab0，l或l.5.解析AA1平面ABC，B1B平面ABC，与可以作为平面ABC的法向量6.4解析，ab0，x2230，x4.7.是解析如图，以A为
15、坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则由AC2，BC，SB，得B(0，0)，S(0,0，2)，C，.因为0，所以SCBC.8. 证明平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，ADED，ED平面ADEF，ED平面ABCD.以D为坐标原点，分别为x轴，y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)(1)M为EC的中点，M(0,2,1)，则(2,0,1)，(2,0,0)，(0,0,2)，故，共面又BM平面ADEF，BM平面ADEF.(2)(2,2,0)，(2,2,0)，(0,0,2)，440，BCDB.又0，BCDE.又DEDBD，DB，DE平面BDE，BC平面BDE.（3）证明由(2)知BC平面BDE，又BC平面BCE，平面BCE平面BDE.
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