1、2.6 对数与对数函数 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 2.6 对数与对数函数双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1对数的概念(1)对数的定义 如果abN(a0且a1)，那么b叫作以a为底N的对数，记作_，其中a叫作对数的底数，_叫作真数 blogaNN(2)几种常见对数对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a0且a1)logaN 常用对数 底数为10 _ 自然对数 底数为_ lnN lgN e2对数的性质、换底公式与运算法则性质 loga1_，logaa1，_ 运算 性质 如果a0，a1，M0，N0，则：(1)loga(Mn)_，(2)logaMn_，(3)Loga _ 换
2、底 公式 logbN(a，b0，a，b1，N0)0NlogaMlogaNnlogaM(NR)logaMlogaN.MNaalog Nlog balog Na思考感悟1试结合换底公式探究logab与logba，logambn与logab之间的关系？提示：logab 1logba，logambnnmlogab.3对数函数的定义、图像与性质 定义 函数_(a0，a1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数 图像 a1 0a1 ylogax性 质(1)定义域：_(2)值域：_(3)过点(1,0)，即当x1时，y0(4)当x1时，_；当0 x1时，_(4)当x1时，_；当0 x1时，_(5)是(0，)上的_
3、(5)是(0，)上的_(0，)Ry0y0y0y0增函数减函数思考感悟2如何确定图中函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？提示：作一直线y1，该直线与四个函数图像交点的横坐标即为它们相应的底数 0cd1a0且a1)互为反函数，它们的图像关于直线_对称logaxyx课前热身 1(2010年高考四川卷)2log510log50.25等于()A0 B1 C2D4 答案：C 2在同一坐标系内，函数yxa与ylogax的图像可能是()答案：C 3下列不等式成立的是()Alog32log23log25 Blog32log25log23Clog23log32log25 Dlog23log25log32答案：
4、A4(教材习题改编)函数ylog(3x)(x1)的定义域为_ 答案：(1,2)(2,3)5若函数yf(x)是函数yax(a0且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)_.答案：log2x 考点探究挑战高考 考点突破 对数式的化简与求值 对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行在解决对数的运算和与对数相关的问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化(1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)log21x，x0，fx1fx2，x0，求 f(2011)的值；(2)(2011 年黄山调研)求lg 27lg8lg 10
5、0012lg0.3lg2(52)0230.027(13)2 的值例1(3)化简：log34 273 log5221 log 10log 23274(3 3)7【思路点拨】运用对数的基本性质及对数的运算性质，将对数式进行合并或分解等化简、变形得到结果【解】(1)由已知，得f(1)log221，f(0)0，f(1)f(0)f(1)1，f(2)f(1)f(0)1，f(3)f(2)f(1)1(1)0，f(4)f(3)f(2)0(1)1，f(5)f(4)f(3)1，f(6)f(5)f(4)0.函数f(x)的值以6为周期重复性出现，f(2011)f(33561)f(1)1.(2)原式 3323223()2
6、3lg 3lg 2lg1031()(3)110(lg 31)lg 22 32lg33lg23212lg3lg2121(310)29311009 9104.(3)原式(log34 27log33)log533log 102222(3)-2(341)log5(1032)(14)log5514.【误区警示】对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212log2(3)(4)log2(3)log2(4)等错误对数式的大小比较 1比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成(1)a1，f(x)0，g(x)0，则logaf(x)logag(x)f
7、(x)g(x)0；(2)0a0，g(x)0，则logaf(x)logag(x)0f(x)b1，如图1.当f(x)1时，logbf(x)logaf(x)；当0f(x)logbf(x)(2)若1ab0，如图2.当f(x)1时，logbf(x)logaf(x)；当1f(x)0时，logaf(x)logbf(x)(3)若a1b0.当f(x)1时，则logaf(x)0logbf(x)；当0f(x)1时，则logaf(x)0logbf(x)3比较大小常用的方法(1)作差(商)法；(2)利用函数的单调性法；(3)特殊值法(特别是以1和0为中间值)(1)设 alog3，blog2 3，clog3 2，则()A
8、abc BacbCbacDbca例2(2)对于 0a1，给出下列四个不等式：loga(1a)loga(11a)；a1aa11a，其中成立的是()【思路点拨】(1)利用对数函数的单调性进行比较；(2)先比较 1a 与 11a的大小，然后利用指数函数与对数函数的单调性求解A与 B与 C与D与【解析】(1)log3 2log2 2log2 3，bc.又 log2 3log22log33log3，ab.abc.(2)0a1，1aloga(11a)，a1a11 aa.故成立【答案】(1)A(2)D【名师点评】比较大小，往往要先判断正、负，再根据函数的单调性进行比较，必要时要与0、1或其他中间值进行比较互
9、动探究1 将本例(2)中的条件0a1改为a0且a1结论如何？解：当 a1 时，a1a，1a11a，loga(1a)loga(11a)，a1a11 aa，此时正确当 0a1 时，a1a，1aloga(11a)，a1a11 aa，即正确综上可知：正确对数函数的图像与性质的应用 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的 已知 f(x)loga1x1x(a0 且 a1)(1)求 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的单调性；(3)求使
10、 f(x)0 的 x 的取值范围例3【思路点拨】(1)定义域即为1x1x0 的解集；(2)利用复合函数单调性规律，即根据 u1x1x，ylogau 的单调性关系进行判断；(3)化为同底对数，即 loga1x1xloga1，然后去掉对数符号求解【解】(1)由 ylogau，u1x1x0，即(x1)(x1)0，得1x1.f(x)的定义域为x|1x1)或单调递减(0a1 时，f(x)loga1x1x在(1,1)上单调递增；当 0a1 时，由 loga1x1x0loga1，得1x1x1，解得 0 x1；当 0a0loga1，得 01x1x1，解得1x1与0ablogaf(x)logaab，然后利用单调
11、性，去掉对数符号：若a1，则f(x)ab；若0a1，则0f(x)1时，f(x)logag(x)的单调性与g(x)0时的单调性一致；当0a0的单调性相反(如例3)4无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质，首先要分清其底数a(0,1)还是a(1，)，其次再看定义域如果将函数变换，务必保证等价性(如例2)失误防范1指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积 2指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别 3要通
12、过研究函数的性质明确函数图像的位置和形状，要记忆函数的性质可借助于函数的图像因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图像考情分析 考向瞭望把脉高考 本节内容在高考中属必考内容，考查重点有以对数的运算性质为依据，考查对数运算、求函数值，通过比较大小、求单调区间、解不等式等考查对数函数的单调性以及考查与对数函数有关的综合问题等考查热点是对数函数的性质题型以选择题、填空题为主，属中低档题 预测2012年高考仍以对数函数性质为主要考点，重点考查运用知识解决问题的能力(2010 年高考上海卷)(本题满分 12 分)已知0 x2，化简：lgcosxtanx 12sin2x2 lg
13、2cosx4 lg(1sin 2x)真题透析 例【解】原式lg(sinxcosx)lg(sinxcosx)lg(1sin2x)6 分lgsinxcosx21sin2x 8 分lg1sin2x1sin2x0.12 分【名师点评】(1)本题易失误的是：三角变换公式不熟，在变形的过程中出错；对数的运算性质和指数的运算性质记混，导致简单问题复杂化，还得不出正确结论(2)对数的运算常有两种解题思路：一是将对数的和、差、积、商、幂转化为对数真数的积、商、幂；二是将式子化为最简单的对数的和、差、积、商、幂，合并同类项后再进行运算解题过程中，要抓住式子的特点，灵活使用运算法则名师预测 1若alog3，blog
14、43，clog50.9，则()Aabc Bbac CcabDbca 解析：选A.alog3log331，blog43log441且b0，clog50.9log510，abc.2设 f(x)lg(21xM)是奇函数，则使 f(x)0 的 x 的取值范围是()A(1,0)B(0,1)C(，0)D(，0)(1，)解析：选 B.f(x)为奇函数，f(0)0，m1，f(x)lg1x1x，由 f(x)0，得1x1x1，0 x1.3已知0 xy1，Mlog2xlog2y，则有()Am0 B0m1C1m2 Dm2解析：选A.由0 xy1，得0 xy1，故mlog2xlog2ylog2xylog210，故选A.4函数f(N)logn1(n2)(nN)，定义：使f(1)f(2)f(k)为整数的数k(kN)叫作企盼数，则在区间1,10内这样的企盼数共有_个 解析：依题意，有f(1)log23，f(2)log34，f(3)log45，f(k)logk1(k2)，则有f(1)f(2)f(3)f(k)log2(k2)，令log2(k2)n，则k2n2，由k1,10，得12n210，32n12，nN，n2,3，故所求的企盼数共有2个 答案：2 本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用