1、专题强化练7双曲线的综合运用一、选择题1.()已知双曲线E:x24-y2b2=1(b0)的左顶点为A,右焦点为F.若B为双曲线E的虚轴的一个端点,且ABBF=0,则F的坐标为()A.(5-1,0)B.(3+1,0)C.(5+1,0)D.(4,0)2.()已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=13.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)如图所示,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点
2、分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于点M,连接MF2,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(深度解析)A.6B.3C.2D.54.()已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹方程是()A.x2+y23=1B.x2-y23=1C.x23+y2=1D.x23-y2=15.(多选)()已知F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0且ab)的左、右焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.下面四个命题正确的是()A.PF1F2的内切
3、圆的圆心必在直线x=a上B.PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上C.PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上D.PF1F2的内切圆必经过点(a,0)二、填空题6.(2018天津和平期末,)已知椭圆x26+y22=1与双曲线x23-y2=1的公共焦点为F1,F2,点P是两条曲线的一个公共点,则cosF1PF2的值为.7.()设过原点的直线与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)交于P,Q两个不同的点,F为C的一个焦点,若tanPFQ=43,|QF|=5|PF|,则双曲线C的离心率为.三、解答题8.()已知双曲线E的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),并且E经过点P(2,3)
4、.(1)求双曲线E的方程;(2)过点M(0,1)的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点,求直线l的方程.易错9.()已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.答案全解全析一、选择题1.C依题意得,A(-2,0),F(c,0),其中c2=4+b2,设B(0,b),则AB=(2,b),BF=(c,-b),ABBF=2c-b2=0,因此,c2-2c-4=0,解得c=1+5或c=1-5(舍去).F(5+1,0)
5、,故选C.2.B设双曲线的左焦点F(-c,0),由离心率e=ca=2,得c=2a,则双曲线为等轴双曲线,即a=b,双曲线的渐近线方程为y=bax=x,经过F(-c,0)和P(0,4)两点的直线的斜率k=4-00+c=4c,则4c=1,解得c=4,则a=b=22,双曲线的标准方程为x28-y28=1.故选B.3.B解法一:在RtF1F2M中,|F1F2|=2c,MF1F2=30,|MF1|=2ccos30=433c,|MF2|=233c.因此,2a=|MF1|-|MF2|=233c,e=ca=3,故选B.解法二:依题意得Mc,b2a,tan30=kF1M=b2a-0c-(-c)=b22ac=33
6、.因此,2ac=3b2=3c2-3a2,3e2-2e-3=0,解得e=3或e=-33(舍去).故选B.解题模板解决双曲线的几何性质问题,可用代数法,也可用几何法.综合运用几何性质解题可简化运算,平时要多加积累.4.B如图,当点P在y轴左侧时,连接ON,PF1,则|ON|=12|F2M|=1,所以|F2M|=2.结合PN为线段MF1的垂直平分线,可得|PF1|=|PM|=|PF2|-|F2M|=|PF2|-2,所以|PF2|-|PF1|=2|F1F2|=4.同理,当点P在y轴右侧时,|PF1|-|PF2|=20,b0),则c=2,4a2-9b2=1,c2=a2+b2,解得a2=1,b2=3,所以
7、双曲线E的方程为x2-y23=1.(2)当直线l的斜率不存在时,显然不合题意,所以可设直线l的方程为y=kx+1,联立y=kx+1,x2-y23=1,得(3-k2)x2-2kx-4=0(*),当3-k2=0,即k=3或k=-3时,方程(*)只有一解,直线l与双曲线E有且仅有一个公共点,此时,直线l的方程为y=3x+1;当3-k20,即k3时,要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点,则=(-2k)2-4(3-k2)(-4)=0,解得k=2,此时,直线l的方程为y=2x+1.综上所述,直线l的方程为y=3x+1或y=2x+1.解法二:(1)由已知可设双曲线E的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b
8、0),根据双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a,即2-(-2)2+32-(2-2)2+32=2a,所以a=1,因为c=2,所以b2=c2-a2=3,所以双曲线E的方程为x2-y23=1.(2)同解法一.易错警示直线与双曲线有且只有一个公共点,有两种情况,一是切线,二是平行于渐近线,解题时防止遗漏导致解题错误.9.解析(1)由题意知a=23,所以一条渐近线为y=b23x,即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3,所以b2=3.所以双曲线的方程为x212-y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程,得x2-163x+84=0,则x1+x2=163,y1+y2=12.所以x0y0=433,x0212-y023=1,所以x0=43,y0=3.由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),所以t=4,点D的坐标为(43,3).
