1、考点一条件概率与相互独立事件的概率1(2015新课标全国，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432 C0.36 D0.312解析该同学通过测试的概率为p0.60.6C0.40.620.648.答案A2(2014新课标全国，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75 C0.6 D0.45解析由条件概率可得所求概率为0.8，故选
2、A.答案A3.(2011湖南，15)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)_.(2)P(B|A)_.解析圆的半径为1，正方形的边长为，圆的面积为，正方形面积为2，扇形面积为.故P(A)，P(B|A).答案(1)(2)4(2014陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.
3、40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率解(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4，因为利润产量市场价格成本，所以X所有可能的取值为500101 0004 000，50061 0002 000，300101 0002 000，30061 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P(B)(10.5)0.40.5(10.4)0
4、.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i1，2，3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1，2，3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(1C2C3)P(C12C3)P(C1C23)30.820.20.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为
5、0.5120.3840.896.5(2013辽宁，19)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望解(1)设事件“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A“张同学所取的3道题都是甲类题”因为P()，所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值为0，1，2，3.P(X0)C；P(X1)CC；P(X2)CC；P(X3)C.所以X的分布列为：X0123P所
6、以E(X)01232.6(2012山东，19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)解(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知P(B)，P(C)P(D)，由于ABCD，根据事件的独立性和互斥性得P(A)P(B C D)P(B )P(C
7、)P(D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D).(2)根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.根据事件的独立性和互斥性得P(X0)P()1P(B)1P(C)1P(D)(1)，P(X1)P(B C D)P(B)P()P()，P(X2)P(B C DB C D)P(C)P(D)，P(X3)P(BCB D)P(BC)P(BD)，P(X4)P(BCD)，P(X5)P(BCD).故X的分布列为X012345P所以E(X)012345.7(2011大纲全国，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购
8、买保险相互独立(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求X的期望解设A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买(1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB，P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8.(2)DC，P(D)1P(C)10.80.2，XB(100，0.2)，即X服从二项分布，所以期望E(X)1000.220.考点二正态分布1(2015湖南，7)在
9、如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.A2 386 B2 718 C3 413 D4 772解析由XN(0，1)知，P(1X1)0.682 6，P(0X1)0.682 60.341 3，故S0.341 3.落在阴影部分中点的个数x估计值为(古典概型)，x10 0000.341 33 413，故选C.答案C2(2015山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的
10、概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.)A4.56% B13.59% C27.18% D31.74%解析由题意，知P(36)13.59%.答案B3(2014新课标全国，18)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2.()利用该正态分布，求P(187.8Z212.2
11、)；()某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数利用()的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)()由(1)知，ZN(200，150)，从而P(187.8Z212.2)P
12、(20012.2Z20012.2)0.682 6.()由()知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知XB(100，0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.4(2013湖北，20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502) 的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若XN(，2)，有P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.)(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一
13、次， A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆，若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有800，50，P(700X900)0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0P(X900)P(X800)P(800X900)P(700X900)0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x2 400y.依题意，x，y还需满足：xy21，yx7，P(X36x60y)p0.由(1)知，p0P(X900)，故P(X36x60y)p0等价于36x60y900.于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z1 600x2 400y达到最小的x，y.作可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)由图可知，当直线z1 600x2 400y经过可行域的点P时，直线z1 600x2 400y在y轴上截距最小，即z取得最小值故应配备A型车5辆，B型车12辆