1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第四节 直线与圆锥曲线的位置关系 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求了解圆锥曲线的初步应用考试热点以解答题的形式考查直线与圆锥曲线相交的交点、弦长等问题，解决直线与圆锥曲线位置关系中的定值、定点以及参数的范围问题.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点，具体如下
2、：直线与圆锥曲线无公共点，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决 直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦 提示：直线与圆锥曲线有一个公共点不一定是相切(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断直线l方程为AxByC0.圆锥曲线方程f(x，y
3、)0.由消去(x或y)如消去y后得 ax2bxc0.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 若f(x，y)0表示椭圆，上述方程中a0，为此有：若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)若a0，设b24ac.a0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b0时，直线和圆锥曲线相切于一点；cb0)|AB|(过右焦点)|AB|(过左焦点)如抛物线y22px(p0)|AB|.2ae(x1x2)2ae(x1x2)x1x2pCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3中点弦问题设 A(x1，y1)
4、，B(x2，y2)是椭圆x2a2y2b21(ab0)上不同的两点，且 x1x2，x1x20，M(x0，y0)为 AB 的中点，则x21a2y21b21x22a2y22b21两式相减可得：y1y2x1x2y1y2x1x2b2a2即.这是一个有用的关系式类似的可得圆锥曲线为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)时，有.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：因为双曲线的渐近线方程为y2x，点P在渐近线上，如图1，满足条件的直线只有两条，故选B.答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3
5、如果过两点A(a,0)和B(0，a)的直线与抛物线yx22x3没有交点，那么实数a的取值范围是_ 解析：过A、B两点的直线为：xya与抛物线yx22x3联立得：x2xa30 因为直线与抛物线没有交点，则方程无解 即14(a3)0 2kk2202k220，解得2k0且两根之和与两根之积均为正值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 设直线l1：y2x，直线l2经过点A(2，t)，抛物线C：y24x.若l1与C有m个公共点，l2与C有n个公共点，且mn3，则满足条件的直线l2共有 ()A0条或1条或2条 B0条或2条或3条 C0条或1条或3条D1条或2条或3条Copyright
6、 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：联立 y2x 与 y24x，可得 x0 或 1m2.n1，即 l2 与 C 只有一个公共点将 x2 代入 y24x.得 y2 2.当 t2 2或 t2 2时，A 点在 C 的外部符合题意的l2 有三条；当 t2 2时，A 在 C 上，符合题意的 l2 有两条；当2 2t0 x1x22k1k20解得 2k1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)因为|AB|1k2|x1x2|1k2(x1x2)24x1x2 1k2(2k1k2)24 21k22(1k2)(2k2)(1k2)2.依题意得 2(1k2)(2k2)(1k2)26
7、3.整理后得 28k455k2250，k257或 k254.又 2k0的前提下使用根与系数的关系的错误，导致这一错误的原因，是因为没有养成良好的解题习惯Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 设椭圆 ax2by21 与直线 xy10 相交于 A、B 两点，点 C 是 AB 的中点，若|AB|2 2，OC 的斜率为 22，求椭圆的方程Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么 A、B 的坐标是方程组ax2by21xy10的解由 ax21by211，ax22by221，两式相减，得a(x1x2)(x1x2)b(y
8、1y2)(y1y2)0，因为y1y2x1x21，所以y1y2x1x2ab，即2yC2xCab，yCxCab 22，所以 b 2a.再由方程组消去 y 得(ab)x22bxb10，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 由|AB|(x1x2)2(y1y2)2 2(x1x2)2 2(x1x2)24x1x22 2，得(x1x2)24x1x24，即(2bab)24b1ab4由、解得 a13，b 23，故所求的椭圆方程为x23 2y23 1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 中点弦问题 例3 设A、B是椭圆3x2y2上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点，
9、线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点确定的取值范围，并求直线AB的方程Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法一 依题意，可设直线 AB 的方程为 yk(x1)3，代入 3x2y2，整理得：(k23)x22k(k3)x(k3)20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1、x2 是方程的两个不同的根，故 4(k23)3(k3)20.且 x1x22k(k3)k23，又 N(1,3)是线段 AB 的中点，得：x1x221，所以 k(k3)k23，解得 k1 代入得 12.因此，得到 的取值范围是(12，)，直线 AB 的方程为：y3(x1)，即 xy40.Co
10、pyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法二 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：3x21y21，3x22y22，两方程相减得：3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.依题意：x1x2，所以 kABy1y2x1x23(x1x2)y1y2.因为N(1,3)是 AB 的中点，所以 x1x22，y1y26，因而 kAB1.又由 N(1,3)在椭圆内，所以 3123212，所以 的取值范围是(12，)，直线 AB 的方程为：y3(x1)，即 xy40.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 中点弦问题采用“点差法”较简捷Copyr
11、ight 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知双曲线 x2y221，点 P(1,1)问是否存在过 P 点的直线 l，使 l 与所给的双曲线交于两点 P1、P2，且 P 为线段P1P2 的中点，若存在，求直线 l 的方程；若不存在，说明理由Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：设直线 l 存在，其斜率为 k，即 l 的方程为：y1k(x1)与双曲线方程联立，消去 y 得：(2k2)x22k(1k)x(1k)220.设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有 x1x22k(1k)2k22，解得 k2.当 k2 时，上面方程为：2x24x30 无解，故直线 l
12、 不存在Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 最值与取值范围问题图 3例 4(2009陕西高考)已知双曲线 C 的方程为y2a2x2b21(a0，b0)，离心率 e 52，顶点到渐近线的距离为2 55.(1)求双曲线 C 的方程；(2)如图 3 所示，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限若APPB，13，2，求AOB 面积的取值范围Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析 第(1)问根据已知条件列方程组解决；第(2)问结合图形可知，由于AOB 为定值，故三角形面积仅仅与线段|OA|，|OB|的长
13、度有关，结合点 A，B 在两条渐近线上，点 P在双曲线上和APPB，建立三角形面积关于 的函数关系式，然后根据 的取值范围求得AOB 的取值范围Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)由题意知，双曲线 C 的顶点(0，a)到渐近线 axby0 的距离为2 55，aba2b22 55，即abc 2 55，由 abc 2 55，ca 52，c2a2b2，得a2，b1，c 5，双曲线 C 的方程为y24 x21.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)由(1)知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y2x.设 A(m,2m)，B(n,2n)，m0，n0.
14、由APPB得 P 点的坐标为mn1，2(mn)1，将 P 点的坐标代入y24x21，化简得 mn(1)24.设AOB2，tan(2)2，tan12，sin245.又|OA|5m，|OB|5n，SAOB12|OA|OB|sin22mn12(1)1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 记 S()12(1)1，13，2，当 13，1时，S()单调递减当 1,2)时，S()单调递增又 S(1)2，S(13)83，S(2)94.当 1 时，AOB 的面积取得最小值 2，当 13时，AOB 的面积取得最大值83，AOB 面积的取值范围是2，83Copyright 2004-2009
15、 版权所有 盗版必究 拓展提升 试题第(1)问主要考查双曲线的简单几何性质、点到直线的距离公式等基础知识以及方程思想的应用，属于常规类基础问题，目的也是给出双曲线方程；第(2)问通过共线的三点 A，P，B 的位置和其关系APPB设计了范围问题，主要目的是考查坐标法思想、函数思想在分析问题、解决问题中的应用，对考生分析问题的能力有较高要求本题是一道知识考查与能力考查兼而有之的试题，能有效区分不同层次的考生Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 直线m：ykx1和双曲线x2y21的左支交于A，B两点，直线l过点P(2,0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围Cop
16、yright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：由ykx1x2y21(x1)，消去 y 可得，(k21)x22kx20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得 4k28(1k2)0 x1x2 2k1k20，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解得 1k 2.设 M(x0，y0)，则x0 x1x22k1k2y0y1y2211k2.设 l 与 y 轴的交点为 Q(0，b)，则由 P(2,0)，M(k1k2，11k2)，Q(0，b)三点共线可求得b22k2k2，设 f(k)2k2k2，则 f(k)在(1，2)上单调递减，所以 f(2)f(k)f(1)且 f
17、(k)0，所以(22)f(k)1，所以 b2.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 本节问题的研究集中体现了解析几何的基本思想和方法，要求有较强的分析问题和解决问题的能力，有些问题涉及到代数、三角、几何等多方面的知识，因此在复习中要注意各学科之间的联系和综合利用知识解决问题的能力Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题通过消元最终归结为讨论一个一元二次方程Ax2BxC0的实数解的个数
18、问题应特别注意要分A0和A0的两种情况讨论，只有A0时，才可用判别式来确定解的个数当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点；当直线平行于双曲线的渐近线时，只有一个公共点这些情况在解题中往往容易疏忽，要特别注意，对于选择、填空题，用数形结合往往快速简捷Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2斜率为 k 的直线被圆锥曲线截得弦 AB，若 A、B 两点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|1k2|y1y2|11k2(k0)，利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理3与焦点弦长有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义Copyright
19、2004-2009 版权所有 盗版必究 4在给定的圆锥曲线 f(x，y)0 中，求中点为(m，n)的弦 AB 所在直线方程时，一般可设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，利用 A、B 在曲线上，得 f(x1，y1)0，f(x2，y2)0，及 x1x22m，y1y22n，故可求出斜率 kABy1y2x1x2，最后由点斜式写出直线 AB 的方程5已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法6涉及弦长的问题中，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长(即运用弦长公式)，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求，简化运算Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究