1、北京市丰台区2019届高三上学期期末练习数学（文）试题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合0，1，那么A. B. 0， C. 0，1， D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，找出集合A、B的交集即可.【详解】因为集合0，1，所以0，故选B.【点睛】本题考查了交集的定义，属于基础题.2.复数在复平面上对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法求出复数，再找出所对应的点即可.【详解】因为 所以复数z在复平面所对应的点是（1,3）【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，属于基础题.3.执行如图所示的程序框图，
2、输出的的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】执行程序框图，可知该框图表示数列的前4项和，利用裂项相消法可得结果.【详解】模拟程序的运营，可知该程序的功能是求的前4项和，并输出，故选B【点睛】算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮点，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.4.若x，y满足，则的最大值是A. B. C. 1 D. 4【答案】D【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几
3、何意义求最值，令表示直线在y轴的截距，求出答案即可.【详解】因为x，y满足，可行域为令 求得A（-2，-3）有图可知，当直线经过A（-2，-3）取最大值， 故选D.【点睛】本题目主要考查了简单的线性规划，画出可行域是关键，属于简单题.5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，根据三视图中数据，求出各棱的长，从而可得结果.【详解】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，图中，与底面垂直，且，由勾股定理可得，所以最长的棱为，故选D.
4、【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6.设是非零向量，则是的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断
5、即可.【详解】因为是非零向量，所以若，则，即；若，则，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a、c，算出离心率
6、.【详解】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，即椭圆的c=2，因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；即通径为 ，又因为c=2解得a=4所以离心率 故选D.【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，O是正六边形的中心，若，则点的纵坐标为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】据题意求出正六边形的半径，设出的坐标，再利用向量的数量积和半径列出方程组，求解即可.【详解】由题 ，设 ， 解得 故选C.【点睛】本题目考查了向量的坐标运算
7、和向量的数量积，熟悉向量的公式是解题的关键，难度系数一般.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知函数的图象过点，那么_【答案】1【解析】【分析】将点代入即可求得答案.【详解】因为函数的图象过点所以，解得a=1故答案为1.【点睛】本题目考查了对数函数的运算，属于基础题.10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，且，则_【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理求出sinB，再利用三角形中得出B只能是锐角，得出答案.【详解】由正弦定理得，且在三角形中，故 ，所以 ， 为锐角, 故答案为【点睛】本题主要考查了正弦定理，需要注意的是B的取值范围，容易得出错误答案为或，属于基础题.11.能
8、够说明“设是任意非零实数若，则”是假命题的一组整数的值依次为_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用不等式的性质，找出一组符合题意的即可.【详解】要使“设是任意非零实数若，则”是假命题，只需满足 且 即可，可取，故答案为（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查不等式的性质与应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.12.已知双曲线C：的一个焦点是，那么双曲线C的渐近线方程为_【答案】【解析】【分析】根据双曲线的定义求得c的值，再求得a的值，直接表示出渐近线方程得出答案.【详解】根据题意，得出c=2，根据双曲线的性质的 易知 所以a=1，双曲线的渐近线方程为 故答案为【点睛】本题
9、目主要考查了双曲线的性质，以及a、b、c之间的关系和渐近线的方程，属于基础题.13.已知两点，动点Q满足若P为直线上动点，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】设出动点Q的坐标，根据题意求出点Q的轨迹方程，其轨迹方程是以（0,0）为圆心，半径r=1的圆，再利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，最小值为距离减去半径.【详解】设动点Q（x，y），所以 又因为所以所以点Q是以（0,0）为圆心，半径r=1的圆，圆心（0,0）到直线的距离 的最小值为故答案为【点睛】本题主要考查了圆的方程以及直线与圆的位置关系，圆上的点到直线的最短距离和最长距离分别为d-r和d+r，属于中等题.14.已知函数若，则函数
10、的零点有_个；若对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】把a=0带入，令f(x)=0，求解，有几个解就有几个零点；分类讨论，令a0,a=0,a0分别进行讨论，最后求得a的取值范围.【详解】当a=0， 当,时，=0，解得x=2或x=0，当，x=0无解故有两个零点（1）当时，f（1）=1，此时，不成立，舍；（2）当a=1，此时f（x）的最大值为f（1），所以成立；（3）当，令 当x0时， 当时，恒成立；故，综上 故答案为【点睛】本题考查了函数零点的问题以及恒成立求参数问题，本题第二问的求参数主要考查了分类讨论的思想，如何分类，思路清晰是解题的关
11、键，属于较难的题目.求函数零点的方法：1.解方程f(x)=0的根；2.利用函数零点存在性定理和函数的单调性；3.利用数形结合，找图像的交点个数.三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数（1）求的值；（2）求证：当时，【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）先利用倍角公式和辅助角公式，对原式进行化简，然后求出的值；（2）求出当时，f(x)的范围，得证.【详解】解： 1，证明： 2，当时，即时，取得最小值，当时，【点睛】本题主要考查了三角函数的变形以及告知x的取值，求三角函数值域的问题，解题的关键是能否把三角函数化简，属于基础题型.16.已知等差数列和等比数列满足，（1
12、）求数列的通项公式：（2）求和：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质求出首项和公差，得出通项公式；（2）利用等比数列的性质，得出首项和，求得的通项，再求和.【详解】解： 1等差数列和等比数列满足，解得，数列的通项公式2等差数列和等比数列满足，解得，【点睛】本题主要考查了等差等比数列的性质以及通项公式的求法和等比的求和公式，本题的解题关键是数列是以为首项，公比为的等比数列,属于基础题.17.如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD，E为棱的中点，（1）求证：平面BDE；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1【解析】
13、【分析】（1）利用线面平行的判断定理得证；（2）先用线面垂直的判定证明平面，再利用性质得出；（3）利用等体积法转化底面，求得体积.【详解】1证明：设，连接OE，在中，E分别为AC，的中点，平面BDE，平面BDE，平面BDE；2证明：侧棱底面ABCD，底面ABCD，底面ABCD为正方形，平面，平面，；3解：侧棱底面ABCD于A，E为棱的中点，且，即三棱锥的高为由底面正方形的边长为2，得【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行、线面垂直等相关知识的证明，还考查了运用等体积法求体积的方法，属于基础题.18.2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国
14、家级博览会，本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展，其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：展区类型智能及高端装备消费电子及家电汽车服装服饰及日用消费品食品及农产品医疗器械及医药保健服务贸易展区的企业数家40060706501670300450备受关注百分比备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注简称备受关注的企业数与该展区的企业数的比值（1）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（2）某电视台采用分层抽样的方法，在“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中
15、抽取6家进行了采访，若从受访企业中随机抽取2家进行产品展示，求恰有1家来自于“医疗器械及医药保健”展区的概率【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出7个展区的总企业数，在求得备受关注的智能及高端装备企业数，然后求得其概率;（2）先根据抽取6家利用分层抽样分别计算出在“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”的企业数，在列出抽2家所有的可能性，再求出满足题意的概率即可.【详解】解： 1个展区企业数共家，其中备受关注的智能及高端装备企业共家，设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A，2消费电子及家电展区备受关注的企业有家，医疗器械及医药保健展
16、区备受关注的企业有家，共36家，抽取的6家企业中，来自消费电子及家电展区企业有家，记为，来自医疗器械保健展区企业有家，记为，抽取两空进行产品展示的企业所有可能为：，共15种，其中满足恰有1家来自医疗器械及医药保健展区的有8种，恰有1家来自于“医疗器械及医药保健”展区的概率【点睛】本题考查了古典概型的概率公式以及分层抽样的求法，列出所有的可能性，再找出符合条件的情况，属于基础题.19.已知椭圆C：的右焦点为，离心率为，直线1：与椭圆C交于不同两点M，N（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线MF的倾斜角与直线NF的倾斜角互补【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意知道焦点和离心率
17、，分别求出a、b、c，得出椭圆方程；（2）设出点M、N的坐标，联立方程化简，得出一元二次方程，再表示出直线MF与直线NF的斜率，计算可得证.【详解】解： 1椭圆C：的右焦点为，离心率为，由题意得，解得，椭圆C的方程为证明： 2设，由，得，依题意，解得，当或时，得，不符合题意.，直线MF的倾斜角与直线NF的倾斜角互补【点睛】本题主要考查了椭圆的方程的求法和性质的运用，还考查了直线与圆锥曲线的相交问题的综合知识；属于中档题.直线与圆锥曲线的相交问题：（1）设出直线方程和点的坐标（注意斜率不存在的情况）；（2）联立方程得一元二次方程（注意考虑判别式），写出韦达定理；（3）转化问题，将题目已知条件转化为数学公式；（4）计算.20.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：当时，【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求得点的坐标，和切线的斜率，利用点斜式求出切线方程;（2）先证明，利用单调性求出f(x)的最小值；再证明，构造新函数构造函数，判断出单调性求最值得证.【详解】解： 1函数，曲线在点处的切线方程为：，整理得：证明： 2先证明，是增函数，构造函数，递减，即，递减，当时，【点睛】本题目主要考查了曲线的切线方程和导函数的应用问题，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题.
