1、第3讲基本不等式1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数3利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)做一做1已知a，b(0，)，若ab1，则ab的最小值为_；若ab1，则ab的最大值为_解析：由基本不等式得ab22，当且仅当ab1时取到等号；ab
2、，当且仅当ab时取到等号答案：21辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可；(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致2活用几个重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同号)ab(a，bR)；(a，bR)3巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件做一做2“a0且b0”是“”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A3若x1，则x的最小值为_解析：xx11415.当且仅当x1，即x3时等号成立答案：5 _利用基本
3、不等式证明不等式_已知a0，b0，ab1，求证：9.证明法一：a0，b0，ab1，112.同理，12.52549，当且仅当，即ab时取“”9，当且仅当ab时等号成立法二：111，a，b为正数，ab1，ab，当且仅当ab时取“”于是4，8，当且仅当ab时取“”189，当且仅当ab时等号成立在本例条件下，求证4.证明：a0，b0，ab1，2224，当且仅当ab时等号成立4.规律方法利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一
4、个数，“1”的代换法等1.设a，b，c都是正数，求证：abc.证明：a，b，c都是正数，都是正数2c，当且仅当ab时等号成立，2a，当且仅当bc时等号成立，2b，当且仅当ac时等号成立三式相加，得22(abc)，即abc，当且仅当abc时等号成立_利用基本不等式求最值(高频考点)_利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度：(1)知和求积的最值；(2)知积求和的最值；(3)求参数的值或范围(1)当0xm22m恒成立，则实数m的取值范围是()A(，2)4，)B(，42，)C(2，4)D(4，2)扫一扫进入91导学网()基本不
5、等式解析(1)0x0，则y2x(12x)，当且仅当2x12x，即x时取到等号，ymax.(2)由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)77274，当且仅当时取等号故选D.(3)x2y(x2y)228，当且仅当，即x2y时等号成立由x2ym22m恒成立，可知m22m8，m22m80，解得4m2.答案(1)(2)D(3)D规律方法利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必
6、须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值2.(1)当x0时，f(x)的最大值为_(2)若x0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线1上，且m，n0，则3mn的最小值为_(4)已知正实数a，b满足a2b1，则a24b2的最小值为_解析：(1)x0，f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号(2)x3，x30，f(x)x(x3)33231，当且仅当3x，即x1时，等号成立故f(x)的最大值为1.(3)易知函数yax32(a0，a1)恒过定点(3，1)，所以A(3，1)又因为点A在直线1上，所以1.所以3mn(3mn
7、)1010216，当且仅当mn时，等号成立，所以3mn的最小值为16.(4)因为a0，b0，1a2b2，所以ab，当且仅当a2b时等号成立又因为a24b22a(2b)4ab，令tab，所以f(t)4t.因为f(t)在上单调递减，所以f(t)minf，此时a2b.答案：(1)1(2)1(3)16(4)_利用基本不等式解决实际问题_小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)x2x(万元)在年产量不小于8万件时，W(x)6x38(万元)每件产品售价为5元通过市场分析
8、，小王生产的商品能当年全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0x8时，L(x)5x3x24x3；当x8时，L(x)5x335.所以L(x)(2)当0x8时，L(x)(x6)29.此时，当x6时，L(x)取得最大值L(6)9万元，当x8时，L(x)35352352015，此时，当且仅当x时，即x10时，L(x)取得最大值15万元90)因为x24，所以ymin802041
9、60(元)答案160考题溯源本题源于教材人教A版必修5 P99例2“某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？”只对题目数字作一变动，其解法完全相同如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB3米，AD2米 (1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值解：(1)设DN的长为x(x0)米
10、，则|AN|(x2)米，|AM|，S矩形AMPN|AN|AM|.由S矩形AMPN32，得32.又x0，得3x220x120，解得0x6，即DN长的取值范围是(6，)(单位：米)(2)矩形花坛的面积为y3x12(x0)21224，当且仅当3x即x2时，矩形花坛的面积最小，为24平方米1(2015青岛模拟)设a，bR，已知命题p：a2b22ab；命题q：，则p是q成立的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.当p成立的时候，q一定成立，但当q成立的时候，p不一定成立，所以p是q的充分不必要条件2(2015上海黄浦模拟)已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成
11、立的是()Aab2 B.2C.2 Da2b22ab解析：选C.当a，b都是负数时，A不成立，当a，b一正一负时，B不成立，当ab时，D不成立，因此只有选项C是正确的3若2x2y1，则xy的取值范围是()A0，2 B2，0C2，) D(，2解析：选D.2x2y22(当且仅当2x2y时等号成立)，2xy，得xy2.4(2015湖北黄冈模拟)设a1，b0，若ab2，则的最小值为()A32 B6C4 D2解析：选A.由ab2，可得(a1)b1.因为a1，b0，所以(a1b)323.当且仅当，即a，b2时取等号5(2015山东青岛质检)在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，bR，a*b为唯一确定的实
12、数，且具有性质：(1)对任意aR，a*0a；(2)对任意a，bR，a*bab(a*0)(b*0)则函数f(x)(ex)*的最小值为()A2 B3C6 D8解析：选B.依题意可得f(x)(ex)*ex1213，当且仅当x0时“”成立，所以函数f(x)(ex)*的最小值为3，故选B.6已知各项为正的等比数列an中，a4与a14的等比中项为2，则2a7a11的最小值为_解析：由已知a4a14(2)28.再由等比数列的性质有a4a14a7a118.又a70，a110，2a7a1128.当且仅当2a7a11时等号成立答案：87某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位
13、：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析：每台机器运转x年的年平均利润为18(x)，而x0，故1828，当且仅当x5时，年平均利润最大，最大值为8万元答案：588已知a，bR，且ab50，则|a2b|的最小值是_解析：依题意得，a，b同号，于是有|a2b|a|2b|22220，当且仅当|a|2b|10时取等号，因此|a2b|的最小值是20.答案：209(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求函数y的最大值解：(1)y(2x3).当x0，24，当且仅当，即x时取等号于是y4，故函数的最大值为.(2
14、)0x0，y，当且仅当x2x，即x1时取等号，当x1时，函数y的最大值为.10已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12.得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)1010218.当且仅当x12且y6时等号成立，xy的最小值为18.1不等式x2x对任意a，b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是()A(2，0) B(，2)(1，)C(2，1) D(，4)(2，)解析：选C.根据题意，由于不等式x2x对任意a，b(0，)恒成立，则x2x，22，
15、当且仅当ab时等号成立，x2x2，求解此一元二次不等式可知2x0，y0，z0)，1.当且仅当，即x2y时等号成立，此时zx23xy4y24y26y24y22y2，1，当y1时，的最大值为1.3(2015云南统一检测)已知a0，b0，方程为x2y24x2y0的曲线关于直线axby10对称，则的最小值为_解析：该曲线表示以(2，1)为圆心的圆，由题意知直线axby10经过圆心(2，1)，则2ab10，即2ab1，所以(2ab)72747(当且仅当a2，b23时等号成立)答案：474(2014高考湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时
16、)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时解析：(1)当l6.05时，F1 900.当且仅当v11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时(2)当l5时，F2 000.当且仅当v10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时比(1)中的最大车流量增加100辆/时答案：(1)1 900(2)1005已知x0，y0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值解：(1
17、)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，.当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.6(选做题)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为yx2200x80 00
18、0，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x2002200200，当且仅当x，即x400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元(2)不获利设该单位每月获利为S元，则S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因为x400，600，所以S80 000，40 000故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损