1、江苏南京师大附中2015届高三12月段考试卷 数学 2014.12.30注意事项：本试卷共4页，包括填空题(第1题第14题)、解答题(第15题第20题)两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答卷纸相应位置上 1在复平面内，复数3i和1i对应的点间的距离为 2在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 3对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：花期(天)1113141617192022个数20403010则这种花卉的平均花期为 天4若sin ，则cos 5直线xcos y
2、20(R)的倾斜角的范围是 6设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(1)1，则f(2014) 7阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i的值为 8若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足，则 9有下面四个判断：命题“设a、bR，若ab6，则a3或b3”是一个假命题；若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；命题“a、bR，a2b22(ab1)”的否定是“a、bR，a2b22(ab1)”；若函数f(x)ln的图象关于原点对称，则a3其中正确的有 个10若双曲线1的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 11设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4
3、)2，f(8)，f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为 12已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为 13设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为 14已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x) 成立数列an满足anf(2n)(nN*)，且a12则数列的通项公式an 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分） 设ABC的内角A
4、，B，C的对边长分别为a，b，c，且b2ac(1)求证：cos B；(2)若cos(AC)cos B1，求角B的大小16（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACB90，BCCC1，E，F分别为AB，AA1的中点(1)求证：直线EF平面BC1A1；(2)求证：EFB1C17(本小题满分14分) 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足（）求该城市的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；（）求该城市旅游日收益的最小值（万元）18.（本小题满分16分）已知抛物线D的
5、顶点是椭圆C：1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合 （1）求抛物线D的方程； （2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点 若直线l的斜率为1，求MN的长； 是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如 果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由19（本小题满分16分） 设函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由20（本小题满分16分） 记数列的前项和为（N*），若存在实常数，对于任意正整数，都有成立 （1）已知，求证：数列（N*）是等比数列；（2）已知数列（N*）是等差数列，求证
6、：； （3）已知，且，设为实数，若N*，求的取值范围南京师大附中2015届高三12月段考试卷 数 学 2014.12.30注意事项：本试卷共4页，包括填空题(第1题第14题)、解答题(第15题第20题)两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答卷纸相应位置上 1在复平面内，复数3i和1i对应的点间的距离为 解析3i1i|42i|2.答案22在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 解析设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为.答案3对某种花卉的开放花期追
7、踪调查，调查情况如下：花期(天)1113141617192022个数20403010则这种花卉的平均花期为 天解析(1220154018302110)15.9(天)答案15.94若sin ，则cos 解析因为，sin ，所以cos ，所以cos(cos sin ).答案5直线xcos y20(R)的倾斜角的范围是 解析:由xcos y20得直线斜率kcos .1cos 1，k.设直线的倾斜角为，则tan .结合正切函数在上的图象可知，0或.6设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(1)1，则f(2014) 解析因为f(x)f(x)，f(x3)f(x)，f(1)1，所以f(1)1，f(2 014)
8、f(36711)f(1)1.答案17阅读下面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i的值为 解析第一次运行结束：i1，a2；第二次运行结束：i2，a5；第三次运行结束：i3，a16；第四次运行结束：i4，a65，故输出i4.答案48若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足，则 解析建立直角坐标，由题意，设C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，则M，2.答案29有下面四个判断：命题“设a、bR，若ab6，则a3或b3”是一个假命题；若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；命题“a、bR，a2b22(ab1)”的否定是“a、bR，a2b22(ab1)”；若函数f(x)ln的图象关于原点对称
9、，则a3其中正确的有 个解析 对于：此命题的逆否命题为“设a、bR，若a3且b3，则ab6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，错误；“p或q”为真，则p、q至少有一个为真命题，错误；“a、bR，a2b22(ab1)”的否定是“a、bR，a2b20，即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x0,知B为为锐角 12分故sin B，得B .14分16（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACB90，BCCC1，E，F分别为AB，AA1的中点(1)求证：直
10、线EF平面BC1A1；(2)求证：EFB1C. 证明(1)由题知，EF是AA1B的中位线，所以EFA1B2分由于EF平面BC1A1，A1B平面BC1A1，所以EF平面BC1A1.6分(2)由题知，四边形BCC1B1是正方形，所以B1CBC1. 8分又A1C1B1ACB90，所以A1C1C1B1.在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面A1C1B1，A1C1平面A1C1B1，从而A1C1CC1，又CC1C1B1C1，CC1，C1B1平面BCC1B1，所以A1C1平面BCC1B1 又B1C平面BCC1B1，所以A1C1B1C. . 10分因为A1C1BC1C1，A1C1，BC1平面BC1A1，所
11、以B1C平面BC1A1. 12分又A1B平面BC1A1，所以B1CA1B.又由于EFA1B，所以EFB1C. 14分17(本小题满分14分) 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足.（）求该城市的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；（）求该城市旅游日收益的最小值（万元）. 解：（）由题意得， 5分 （）因为 7分当时， 当且仅当，即时取等号 10分当时，可证在上单调递减，所以当时，取最小值为 13分 由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元 14分18.（本小题满分16分）已知抛物线
12、D的顶点是椭圆C：1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合 （1）求抛物线D的方程; （2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点 若直线l的斜率为1，求MN的长; 是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如 果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由解：(1)由题意,可设抛物线方程为. 由,得. 抛物线的焦点为,. 抛物线D的方程为 4分(2)设,. 直线的方程为：, 联立,整理得: =9分 设存在直线满足题意,则圆心,过E作直线的垂线,垂足为F,设直线与圆E的一个交点为.可得: 11分即= 14分当时, ,此时直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值.因此存在直线
13、满足题意 16分19（本小题满分16分） 设函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解：（1）的定义域为2分令=a2-4. 当故上单调递增3分 当的两根都小于0，在上，故上单调 递增5分 当的两根为， 当时， ；当时， ；当时， ，故分别 在上单调递增，在上单调递减8分（2）由（1）知，因为，所以又由(1)知，于是10分若存在，使得则12分即 亦即再由（1）知，函数在上单调递增，而，所以与式矛盾故不存在，使得.16分20（本小题满分16分） 记数列的前项和为（N*），若存在实常数，对于任意正整数，都有成立 （1
14、）已知，求证：数列（N*）是等比数列；（2）已知数列（N*）是等差数列，求证：； （3）已知，且，设为实数，若N*，求的取值范围解：（1）由，得（N*）， 从而 2分式得，又，所以数列为等比数列 4分（2）由数列是等差数列，可令公差为，则 于是由得 由正整数的任意性得 6分从而得 8分（3）由，及，得，即， 则有 9分于是，从而，相减得，又，则，所以，即 12分于是由且，下面需分两种情形来讨论（i）当时，则式子的值随的增大而减小，所以，对N*,的最大值在时取得，即于是，对于N*,，又， 14分 （ii）当时，由，得所以，对于N*， 假设，则有，且,得,即，这表明，当取大于等于的正整数时，不成立，与题设不符，矛盾所以又由式知符合题意故时， 综上所述，当时，；当时， 16分