1、专题八选修专题第一讲几何证明选讲1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等，即若l1l2l3，l分别交直线l1，l2，l3于A1，A2，A3，l分别交直线l1，l2，l3于B1，B2，B3，A1A2A2A3，则B1B2B2B3.推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边，即在ABC中，若ADDB，DEBC，则AEEC.推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线平分另一腰，即在梯形ABCD中，ADBC，AEEB，EFAD，则DFFC.2平行线分线段成比例定理三条平行线截任意两条直线，所截出的对应线段成比例，即若l1l2l3，l
2、分别交直线l1，l2，l3于A，B，C，l分别交直线l1，l2，l3于D，E，F，则.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，即在ABC，DEBC，则.3相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，解题时常常把对应点写在对应的位置上4相似三角形的判定方法(1)两对对应角相等的两个三角形相似；(2)三边对应成比例的两个三角形相似；(3)两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似5相似三角形的性质(1)相似三角形对应边上的高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和它们周长的比都等于相似比(对应边的比)；(2)相似三角形的面积比等于相似
3、比(对应边的比)的平方6射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项在RtABC中，ABC90，BDAC于D，则BD2ADCD，AB2ADAC，BC2CDCA.7与圆有关的角的概念(1)圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角如图1中的AOB.(2)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角如图2中的DEF.(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角如图3中的MPN.8与圆有关的角的性质(1)圆周角定理：圆上的一条弧所对的圆周角大小等于它所对的圆心角的一半如图4，ACBAOB.(
4、2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，圆周角为90时所对的弦是直径如图5，DEF90.(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角如图6，MPNPQM.9圆的切线的判定和性质(1)圆的切线的定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点(2)圆的切线的判定：若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线(3)圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切
5、点且垂直于切线的直线必经过圆心10与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等如图7，PAPBPCPD(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如图8，PAPBPCPD(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项如图9，PA2PCPD(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角如图10，PAPC，APOCPO.11圆内接四边形(1)圆内接四边形的判定：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一
6、个圆上；如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上(2)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于与它相邻的内角的对角12直线与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离相交直线与圆有两个公共点；相切直线与圆有一个公共点；相离直线与圆没有公共点(2)判定直线与圆的位置关系的方法：直线与圆的位置决定于圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的大小关系直线与圆相交dr判定直线与圆的位置关系时，先看：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点；再算：算算圆心到直线的距离d和圆的半径为r之间的大小关系；后断：然后根据上述关系作出判断1
7、3圆与圆的位置关系(1)平面内两圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含(2)判定两个圆的位置关系的方法：设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则两圆外离dRr，有4条公切线；两圆外切dRr，有3条公切线；两圆相交Rrdr)，有2条公切线；两圆内切dRr(Rr)，有1条公切线；两圆内含dr)，没有公切线14常用的辅助线的作法出现切线就连接切点和圆心的半径为辅助线，求弦长就作弦心距解直角三角形1如下图所示，DE是ABC的中位线，FG为梯形BCED的中位线，若DE4，则FG等于(A)A6 B8 C10 D122如下图所示，在ABC中，BAC90，D是BC的中点，AEAD交CB的延长线
8、于E，则下列结论正确的是(C)AAEDACB BAEBACDCBAEACE DAECDAC3直线MN切O于点C，AB是O的直径且CAB53，则BOC106，ACB90，ACM37，BCN534如图，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦且BDAC，过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若ABAC，AE6，BD5，则线段CF的长为解析：由切割线定理，可知AE2EBEDEB(EBBD)，即62EB(EB5)，所以EB4，由AE为圆的切线，ABAC，可得EABACBABC.所以AEBC.又ACBD，则ACBE，可得四边形AEBC是平行四边形所以ACABEB4，BCAE6.由BDA
9、C，可得AFCDFB，则，即，所以CF.一、选择题1ABC的三边长分别为，2，ABC的两边长分别为1和，如果ABCABC，那么ABC的第三边长为(A)A. B. C. D.解析：ABCABC，则，则ABC的第三边长为.2点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中的相似三角形共有(C)A2对 B3对 C4对 D5对3如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN.则下列叙述正确的是(C)AAOM和AON都是等边三角形B四边形MBON和四边形MODN都是菱形C四边形AMON和四边形ABCD是相似形D四边形
10、MBCO和四边形OCDN都是等腰梯形4如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，PCB25，则ADC为(B)A105 B115 C120 D1255如图，AB是O的直径，EF切O于C，ADEF于D，AD2，AB6，则AC的长为(C)A2 B3 C2 D46如图，直线BC切O于点A，则图中的弦切角共有(D)A1个 B2个 C3个 D4个二、填空题7如图所示，已知在ABC中，C90，正方形DEFC内接于ABC，DEAC，EFBC，AC1，BC2，则AFFC128如图，在ABC中，已知DEBC，ADE的面积是a2，梯形DBCE的面积是8a2，则解析：S梯形
11、DBCE8SADE，SABC9SADE，SADESABC19.DEBC，ADEABC.9如图所示，已知ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆的切线，若B30，AC2，则OD的长为4解析：连接OA，则COA2CBA60.又OCOA，故COA为正三角形，所以OA2.又因为AD是O的切线，即OAAD，所OD2OA4.10如图所示，PT切O于点T，PA交O于A，B两点且与直径CT交于点D，CD2，AD3，BD6，则PB15三、解答题11如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点证明：OCBD.证明：因为B，C是圆O上的两点，所以OBOC.故OCBB.因为C，D是圆O上位于AB异
12、侧的两点，故B，D为同弧所对的两个圆周角，所以BD.因此OCBD.12如图，AB是圆O的一条直径，C，D是圆O上不同于A，B的两点，过点B作圆O的切线与AD的延长线相交于点M，AD与BC相交于N点，BNBM.求证：(1)NBDDBM；(2)AM是BAC的角平分线证明：(1)AB是圆O的直径，ADB90.而BNBM，BNM为等腰三角形BD为NBM的角平分线，即NBDDBM.(2)BM是圆O的切线，DABDACAM是CAB的角平分线13已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，ACB的角平分线分别交AE，AB于点F，D.(1)求ADF的度数；(2)若ABAC，求的值解析：(1)AC为圆O的切线，BEAC.又DC是ACB的平分线，ACDDCB.BDCBEACACD，即ADFAFD.又BE为圆O的直径，BAE90.ADF(180BAE)45.(2)BEAC，ACBECA，EACABC，又ABBC，BACB，BACBEAC，由BAE90及三角形内角和知B30，在RtABE中，tan B.