1、2.2.2直线的方程学 习 任 务核 心 素 养1会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程(重点)2掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系(重点)3灵活选用恰当的方式求直线方程(难点)1通过直线方程的学习，培养数学抽象的核心素养2通过直线方程适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线怎样表示直线的方程呢？知识点1直线的点斜式方程与斜截式方程在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，
2、就可以写出直线l的方程(1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为xx0(2)直线的点斜式方程若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为yy0k(xx0)由直线上一点和直线的斜率确定，通常称为直线的点斜式方程1直线的点斜式方程应用范围是什么？提示直线l的斜率k存在(3)直线的斜截式方程当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b一条直线在y轴上的截距简称为截距如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为ykxb由直线的斜率和截距确定，通常称为直线的斜截
3、式方程2直线的斜截式方程应用范围是什么？提示直线既不与x轴重合也不与y轴重合1已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1，2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1C方程变形为y2(x1)，直线过点(1，2)，斜率为1知识点2直线的两点式方程与截距式方程(1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2x1，y2y1时，则称为直线的两点式方程(2)若直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且ab0，则方程1称为直线的截距式方程3直线的两点式方程和截距式方程的应用范围分别是什么？提示两点式表示的直线l不与坐标轴平
4、行或重合，截距式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点2思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线y3m(x1)恒过定点(1，3)()(2)直线y2x3在y轴上的截距为3()(3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)由点斜式方程的形式知正确(2)由斜截式方程的形式知正确(3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误(4)正确3过点(1，2)和(3，5)的直线方程为_3x2y10由直线的两点式方程，得，化
5、简得3x2y10知识点3直线的一般式方程直线的一般式方程为AxByC0(A2B20)(1)对于直线方程的一般式，有如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y项的系数和常数项一般不出现分数；直线方程的其他形式都可以化成一般式解题时，如果没有特别说明应把最后结果化成一般式(2)直线方程AxByC0(A2B20)的系数A，B，C满足下列关系时，这条直线有以下性质：当A0，B0时，直线与两坐标轴都相交；当A0，B0，C0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；当A0，B0，C0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；当A0，B0，C0时，直线与x轴重
6、合；当A0，B0，C0时，直线与y轴重合4(多选题)下列说法中正确的是()A平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)表示B当C0时，方程AxByC0(A，B不同时为0)表示的直线过原点C当A0，B0，C0时，方程AxByC0表示的直线与x轴平行D任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化ABC对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，当90时，直线的斜率k存在，其方程可写成ykxb，它可变形为kxyb0，与AxByC0比较，可得Ak，B1，Cb，显然A，B不同时为0，当90时，直线方程为xx10，与AxByC0比较，可得A1，B0，C
7、x1，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的对于选项B，当C0时，方程AxByC0(A，B不同时为0)，即AxBy0，显然有A0B00，即直线过原点O(0，0)，故此说法正确对于选项C，当A0，B0，C0时，方程AxByC0可化为y，它表示的直线与x轴平行，故此说法正确对于选项D，当B0时，方程AxByC0不能化为斜截式，故此说法错误故选ABC 类型1求直线的点斜式方程【例1】写出下列直线的点斜式方程(1)经过点(2，5)，倾斜角为45；(2)直线yx1绕着其上一点P(3，4)逆时针旋转90后得直线l，求直线l的点斜式方程；(3)经过点C(1，1)，且与x轴平行；(4)经过点D(1，1)，且
8、与x轴垂直解(1)因为倾斜角为45，所以斜率ktan 451，所以直线的点斜式方程为y5x2(2)直线yx1的斜率k1，所以倾斜角为45由题意知，直线l的倾斜角为135，所以直线l的斜率ktan 1351所以直线l的点斜式方程为y4(x3)(3)由题意知，直线的斜率ktan 00，所以直线的点斜式方程为y(1)0，即y1(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x1，该直线没有点斜式方程1当k0时，直线方程变为yy0这时，直线平行于x轴或与x轴重合2点斜式方程的应用前提是直线的斜率存在，当直线l的倾斜角为90时，直线l的斜率不存在，这时直线l的方程不能用点斜式表示，此时直线l的方程可表
9、示为xx00或xx0跟进训练1求满足下列条件的直线的点斜式方程(1)过点P(4，3)，斜率k3；(2)过点P(3，4)，且与x轴平行；(3)过P(2，3)，Q(5，4)两点解(1)直线过点P(4，3)，斜率k3，由直线方程的点斜式得直线方程为y33(x4)(2)与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x3)，即y40(3)过点P(2，3)，Q(5，4)的直线的斜率kPQ1又直线过点P(2，3)，直线的点斜式方程为y3(x2) 类型2求直线的斜截式方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率是3，在y轴上的截距是3；(2)倾斜角是60，在y轴上的截距是
10、5；(3)过点A(1，2)，B(2，3)解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y3x3(2)倾斜角是60，斜率ktan 60，由斜截式可得方程yx5(3)斜率为k5，由点斜式得y35(x2)，化为斜截式y5x71用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别2直线的斜截式方程ykxb不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图像就一目了然因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断跟进训练2(1)写出直线斜率为1，在y轴上截距为2的直线的斜截式方程；
11、(2)求过点A(6，4)，斜率为的直线的斜截式方程；(3)已知直线l的方程为2xy10，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标解(1)易知k1，b2，故直线的斜截式方程为yx2(2)由于直线的斜率k，且过点A(6，4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y4(x6)，化成斜截式为yx4(3)直线方程2xy10可化为y2x1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k2，在y轴上的截距b1，直线与y轴交点的坐标为(0，1) 类型3直线的两点式方程【例3】(对接教材人教B版P82例3)在ABC中，A(3，2)，B(5，4)，C(0，2)(1)求BC所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方
12、程解(1)BC边过两点B(5，4)，C(0，2)，由两点式得，即2x5y100故BC所在直线的方程为2x5y100(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0，y03M，又BC边上的中线经过点A(3，2)，由两点式得，即10x11y80故BC边上的中线所在直线的方程为10x11y801由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标(3)由直线的两点式方程写出直线的方程2求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程跟进训
13、练3(1)若直线l经过点A(2，1)，B(2，7)，则直线l的方程为_；(2)若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3，4)的直线上，则m_(1)x2(2)2(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x2(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为，即xy10又点P(3，m)在直线AB上，所以3m10，得m2 类型4直线的一般式方程【例4】设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)若直线l不过第三象限，则a的取值范围为_直线的一般式方程能化成斜截式吗？提示直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线因此在一定条件下，直线的一般式方程可化成斜截式：(1)当
14、B0时，AxByC0可化为yx，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线(2)当B0时，直线斜率不存在，没有斜截式方程1，)把直线l化成斜截式，得y(1a)xa2，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零即解得a1所以a的取值范围为1，)1本例中若将方程改为“x(a1)y2a0(aR)”，其他条件不变，又如何求解？解(1)当a10，即a1时，直线为x3，该直线不过第三象限，符合题意(2)当a10，即a1时，直线化为斜截式方程为yx，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零，即解得a1由(1)(2)可知a12若本例中的方
15、程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？解把直线l化成斜截式，得y(1a)xa2，因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零即解得a2所以a的取值范围为(，2当题目给出直线的一般式方程而考查直线经过的象限问题时，可将一般式方程转化为斜截式方程(但它的参数要有限制，注意分类讨论)，直接研究ykxb：k0，b0，经过第一、二、三象限；k0，b0，经过第一、三、四象限；k0，经过第一、二、四象限；k0，b0，经过第二、三、四象限.跟进训练4如果AC0，且BC0，那么直线AxByC0不过()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限C由AC0且BC0知，直线AxBy
16、C0在两坐标轴上的截距均大于0，故直线不过第三象限1过点(3，2)，倾斜角为60的直线方程为()Ay2(x3)By2(x3)Cy2(x3)Dy2(x3)C因为直线的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60，由直线方程的点斜式，可得方程为y2(x3)2直线y2(x1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A60，2B60，2C120，2D120，2B由y2(x1)可知斜率k，故倾斜角为60，令x0可得在y轴上的截距为23直线ykxb通过第一、三、四象限，则有()Ak0，b0Bk0，b0Ck0，b0Dk0，b0B直线经过第一、三、四象限，由图知，k0，b04已知直线l过点P(2，1)，且斜率为1，则l的
17、点斜式方程为_y1(x2)直线l的斜率k1，又过点P(2，1)，所以直线l的点斜式方程为y1(x2)5过点(1，2)且以直线2x3y70的法向量为方向向量的直线的一般式方程是_3x2y10由直线2x3y70的斜率为，可得所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为y2(x1)，即3x2y10回顾本节知识，自我完成以下问题：1k与yy0k(xx0)有什么不同？提示k与yy0k(xx0)的不同之处在于前者表示的直线上缺少一个点P0(x0，y0)，后者才表示整条直线2试比较各种不同直线方程的特点及适用范围提示直线方程五种形式的比较名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式yy0k(xx0)(x0，y0)是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴的直线斜截式ykxbk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴的直线两点式(x1x2，y1y2)(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两定点不垂直于x轴和y轴的直线截距式1(a0，b0)a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，因此在应用时要注意它们各自的适用范围，避免漏解