1、第一章空间向量与立体几何 要点1空间向量基本定理1共线向量基本定理对任意两个空间向量a，b，如果a0且ba，则存在唯一的实数，使得ba推论：若存在实数t，使t(1t)t(O为空间任意一点)，则P，A，B三点共线2共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使得cxayb推论1：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使xy推论2：空间四点P，A，B，C共面的充要条件是存在x，y，zR，使得xyz(xyz1，O为空间任意一点)3空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的
2、任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc 要点2空间向量数量积的应用(1)abab0，此结论一般用于证明空间中的垂直关系(2)|a2|a2，即|a|，此结论一般用于求空间中线段的长度(3)cosa，b，此结论一般用于求空间角的问题(4)|b|cosa，b，此结论一般用于求空间中的距离问题 要点3空间向量在立体几何中的应用设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，则线线平行lmabakb，kR线面平行lauau0面面平行uuk，kR线线垂直lmabab0线面垂直lauaku，kR面面垂直uu0线线夹角l，m的夹角为，cos 线面夹角l，的夹角为，s
3、in 面面夹角，的夹角为，cos 注意：线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0；二面角的范围为0，解题时应具体分析二面角是锐角还是钝角第二章平面解析几何 要点1直线的倾斜角与斜率(1)设直线的倾斜角为，斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线上的不同两点当90即x1x2时，ktan ；当90或x1x2时，直线斜率不存在(2)斜率与倾斜角的关系直线与x轴平行由左向右上升与y轴平行由左向右下降图示的范围00k的范围k0k0k不存在k0k的增减性随的增大而增大随的增大而增大说明：k的增减性与的关系可借助正切函数ytan 的性质进行记忆 要点2直线的方程已知条件方程适用范围点斜式点P0(x
4、0，y0)和斜率kyy0k(xx0)斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线斜截式斜率k和直线在y轴上的截距bykxb两点式点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线截距式直线在x轴上的截距a和直线在y轴上的截距b1斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A，B不同时为0)所有直线 要点3两条直线的位置关系斜截式：yk1xb1，yk2xb2一般式：A1xB1yC10，A2xB2yC20相交k1k2A1B2A2B10垂直k1k21A1A2B1B20平行k1k2且b1b2或或(A2，B2，C2均不为0
5、)重合k1k2且b1b2A1B2A2B1B2C1B1C2A1C2A2C10 要点4平面上的距离公式(1)任意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线AxByC0的距离d(3)两条平行直线间的距离：直线AxByC10，AxByC20(其中A与B不同时为0，且C1C2)间的距离d 要点5圆的方程1圆的标准方程圆心为(a，b)，半径为r(r0)的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r22圆的一般方程当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0称为圆的一般方程，圆心为，半径为3求圆的方程的方法(1)几何性质法：利用圆的任意弦的
6、垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(xa)2(yb)2r2或一般方程x2y2DxEyF0，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可 要点6直线与圆的位置关系1直线与圆的位置关系的判定方法关系相交相切相离几何法drdrdr代数法000说明：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径，为直线和圆的方程联立消元后所得一元二次方程的根的判别式2求弦长的方法(1)利用垂径定理：已知半径r、弦心距d、弦长l，则d22r2(2)利用弦长公式：联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1x2，x1x2(或y1y2，y1
7、y2)，则弦长为|x1x2|(或|y1y2|)3圆的切线方程(1)经过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2(2)经过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2(3)经过圆x2y2DxEyF0上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xy0yDEF04求切线方程的方法若切线斜率k存在，且不为0(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即得切线方程(2)代数法：将切线方程与圆的方程联立，消元得一元二次方程，令0，求出k，即得切线方程注意：过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直
8、的切线 要点7圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含几何法dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|代数法00000说明：d为两圆的圆心距，r1，r2分别为两圆半径，为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式由于利用代数法求出0或0后两圆的位置关系仍不明确，因此一般利用几何法判断两圆的位置关系 要点8椭圆、双曲线、抛物线的比较椭圆双曲线抛物线定义如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a|F1F2|，则平面内满足|PF1|PF2|2a的动点P的轨迹称为椭圆如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a|F1F2|，则平面上满足|P
9、F1|PF2|2a的动点P的轨迹称为双曲线设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线标准方程1(ab0)1(a0，b0)y22px (p0)几何图形集合表示P|PF1|PF2|2a，2a|F1F2|0P|PF2|PF1|2a，02a|F1F2|P|PF|点P到直线l的距离焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(c，0)，F2(c，0)F范围axa，byb|x|a，yRx0，yR顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(a，0)，A2(a，0)O(0，0)中心原点(0，0)原点(0，0)无离心率0e1e1
10、e1通径长2p焦半径|PF1|aexP，|PF2|aexP若点P在右支上，则|PF1|aexP，|PF2|aexP；若点P在左支上，则|PF1|aexP，|PF2|aexP|PF|xP 要点9椭圆、双曲线的焦点三角形的相关结论1椭圆设F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，PF1F2，PF2F1，F1PF2(1)当且仅当a22b2时，椭圆上存在以P为直角顶点的直角三角形其中，当a22b2时，直角顶点为短轴端点(2)离心率e，e(3)|PF1|PF2|，Sb2tan 2双曲线设F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF1F2，PF2F1，F1PF2(1)离心率e，e(2)|PF1|PF2|，S 要点10抛物线焦点弦的相关结论已知F是抛物线y22px(p0)的焦点，PQ为过焦点F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直线的倾斜角为(1)焦点弦长|PQ|x1x2p，且以焦点弦为直径的圆和准线相切(2)P，Q的横坐标之积、纵坐标之积均为定值：x1x2，y1y2p2，p2，kOPkOQ4(3)|PF|，|FQ|，从而|PQ|，SOPQ(4)焦点弦与抛物线的对称轴垂直时称为抛物线的通径，其长为2p