1、专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数第三讲函数与方程及函数的实际应用1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)，方程f(x)0的实根叫做函数的零点，函数的零点是一个实数而不是一个点(2)性质：对于任意函数，只要它的图象是连续不断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点(不是偶次零点)时函数值变号；相邻两个零点之间的所有函数值保持同号2函数的零点与方程的根的关系函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的实根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标3函数有零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数y
2、f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根1二分法的定义对于在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，叫做二分法2用二分法求函数零点的近似值的步骤(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；若f(x1)0，则x1就是函数的零点，若f(a)f(x1)0，则令bx1此时零点x0(a，x1)，若f(x1)f(b)0，则令ax1此时零点x0(x1，b
3、)(4)判断是否达到其精确度，即|ab|，则得零点近似值a(或b)，否则重复以上步骤3建立函数模型解函数应用题的过程判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(2)幂函数增长比直线增长更快()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)美缘公司2013年上市的一种化妆品，由于脱销，在2014年曾提价25%，2015年想要恢复成原价，则应降价25%.()(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(6)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)
4、f(x)2时，g(x)xb4，f(x)(x2)2；当0x2时，g(x)bx，f(x)2x；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x80，无解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x(x)0，无解；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为(x2)2x2，得x2(舍去)或x3，有1解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x2x，有无数个解；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x70，无解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为1x2x，无解；当x0时，方程f(x)g(x)0可化为x2x10，无解所以b1，排除答案C.因此答案选D.二、填空题5下表是函数f(x)在区间1，2
5、上一些点的数值.由此可判断，方程f(x)0的一个近似解为1.4(精确度0.1，且近似解保留两位有效数字)解析：f(1.438)f(1.406 5)0，且|1.4381.406 5|0.031 50.1，f(x)0的一个近似解为1.4.6如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大解析：设正六棱柱容器的底面边长为x，高为d，则d(1x)；又底面六边形面积为：S6x2sin 60x2，VSdx2(1x)(x2x3)，对V求导，则V(2x3x2)，令V0，解得x0或x，当0x时，V0，V是增函数；当
6、x时，V0，V是减函数x时，V有最大值7若关于x的方程3x25xa0的一个根在(2，0)内，另一个根在(1，3)内，则a的取值范围为(12，0)解析：设f(x)3x25xa，则解得12a0.8(2015安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为解析：函数y|xa|1的图象如图所示，因为直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，故2a1，解得a.三、解答题9将一张26米的硬钢板按图纸的要求进行操作：沿线裁去阴影部分，把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(为底，为侧面，为水箱盖，其中与，与分别是全等的矩形，且)，设水箱的高为x米，容积
7、为y立方米(1)写出y关于x的函数关系式；(2)如何设计x的大小，可使得水箱的容积最大？解析：(1)依题意水箱底的宽为(22x)米，长为(3x)米则水箱的容积y(22x)(3x)x2x38x26x(0x1)，即y关于x的函数关系式为y2x38x26x(0x1)(2)y2x38x26x(0x1)，y6x216x6.令y6x216x60，得x或x(舍去)，当0x时，y0，函数单调递增；当x1时，y0，函数单调递减当x时，函数y2x38x26x(0x1)取得最大值，即设计水箱的高为米时，容积最大10为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为
8、一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似的表示为：yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解析：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为x2002200200，当且仅当x，即x400时，等号成立当月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元(2)设该单位每月获利为S，则S200xy 200x x2400x80 000 (x400)2，x400，600x400，600，当x400时，S取值最大值为0.因此，该单位不能获利，最多能收支平衡当x600时，S20 000，说明该单位每月最大亏损金额为20 000元，所以国家至少需要每月补贴20 000元才能使该单位不亏损