1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第五节 反函数Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.会求一些简单函数的反函数2了解反函数的概念及互为反函数的图象关系考试热点1.会求函数的值域(即反函数的定义域)，能通过解方程会用y表示x.2利用反函数的概念和互为反函数的相关性质解决相关问题.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1反函数及其有关概念(1)函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)解
2、得x(y)如果对于y在C中的任何一个值，通过x(y)，x在A中都和它对应，那么x(y)表示y是自变量，x是的函数，那么把叫做函数yf(x)的反函数，记作(2)习惯上函数yf(x)的反函数记作有唯一的值x(y)xf1(y)yf1(x)自变量yCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (3)如果函数yf(x)有反函数yf1(x)，那么函数yf1(x)的反函数就是这就是说与互为反函数(4)函数yf(x)的定义域，正好是它的反函数yf1(x)的，函数yf(x)的值域正好是它的反函数yf1(x)的yf(x)yf(x)yf1(x)值域定义域Copyright 2004-2009 版权所有
3、 盗版必究 2互为反函数的函数图象间的关系(1)函数yf(x)的图象和它的反函数yf1(x)的图象关于对称(2)若函数yf(x)的图象过点(a，b)，则yf1(x)的图象必过点，即f(a)b.直线yx(b，a)f1(b)aCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (3)有关互为反函数的部分结论 互为反函数的两个函数在相应的区间上单调性 定义域上的单调函数反函数 定义域为非单元集的偶函数反函数 奇函数若存在反函数，则它的反函数是(填“奇函数”或“偶函数”)周期函数反函数相同存在不存在奇函数不存在Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 注意：互为反函数的两个函
4、数的图象的对称性是在横、纵坐标单位长度相同的前提下研究的Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1(2009湖北高考)设 a 为非零实数，函数 y1ax1ax(xR，且 x1a)的反函数是()Ay1ax1ax(xR，且 x1a)By1ax1ax(xR，且 x1a)Cy 1xa(1x)(xR，且 x1)Dy 1xa(1x)(xR，且 x1)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：解法 1：由 y1ax1ax121ax1 可知，反函数的定义域x|x1，故选 D.解法 2：y1ax1axyayx1axa(1y)x1yx 1ya(1y)，y 1xa(1x)
5、，故选 D.答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2(2009陕西高考)函数 f(x)2x4(x4)的反函数为()Af1(x)12x22(x0)Bf1(x)12x22(x2)Cf1(x)12x24(x0)Df1(x)12x24(x2)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：由x4得f(x)2，反函数的定义域为 2，)，故可排除A、C，又由x4时得f1(x)4，则可排除D.故选B.答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3若函数yf(x)的反函数是yg(x)，f(a)b，ab0，则g(b)等于()Aa Ba1 C
6、bDb1 解析：由f(a)b，f1(b)a，即g(b)a，应选A.答案：ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4已知f(x)2xb的反函数为f1(x)，若yf1(x)的图象经过Q(5,2)，则b_.解析：函数yf1(x)的图象过点Q(5,2)，于是yf(x)的图象过点(2,5)，则22b5，所以b1.答案：1Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5求下列函数的反函数：(1)f(x)log2(12x)；(2)f(x)2(x1)，x0，x2，x0.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)令 ylog2(12x)，则 12x
7、2y，x122y1.所求反函数为 f1(x)122x1(xR)(2)令 yf(x)，当 x0 时，y2(x1)且 y2，x12y1(y2)；当 x0 时，y1x2 且 y1.x 1y(y1)因此，所求反函数为f1(x)1x，x1，12x1，x2.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 1 求下列函数的反函数：(1)y1 25x2(5x0)(2)yx21.0 x1，x2，1x0.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)5x0.25x20,5，y4,1，又由 y1 25x2得 25x2(
8、1y)2且 x0，x 25(1y)2.反函数为 y 242xx2，x4,1(2)由 yx21(0 x1)得 x y1，y1,0由 yx2(1x0)得 x y，y(0,1所求的反函数y x1，1x0，x，00，x0，1，x0，x0，1，x1，x1，1，x1，x1，(x1)2，x1.令 g(x)4，可得(x1)24(x0)的图象是由yf(x)的图象向右平移a个单位得到的，yf1(xa)的图象是由yf1(x)的图象向右平移a个单位得到的，故yf(xa)与y f1(xa)的对称轴为yxa.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (1)函数yf(x)的反函数yf1(x)的图象与y轴交
9、于点P(0,2)(如图1所示)，则方程f(x)0的根是x等于()A4 B3 C2 D1(2)函数y1ax(0a1)的反函数的图象大致是下图中的()解析：(1)反函数图象经过(0,2)，原函数图象经过(2,0)，x2.答案为C.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 图1(2)y1ax(0a1)答案为A.也可先作y1ax(0a1)的图象，再作关于直线yx对称的图象Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：(1)C(2)ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 4 设函数 f(x)log22x12x1x12 的反函数为 f1(x)
10、，证明：f1(x)是奇函数，且在其定义域上是增函数Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 可先求出 f1(x)的表达式，再证明，若注意到 f1(x)与 f(x)有相同的奇偶性和单调性，只需研究原函数 f(x)的奇偶性和单调性即可f(x)log22x12x1log22x12x1log22x12x11log22x12x1f(x)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 f(x)为奇函数，从而 f1(x)为奇函数又 t2x12x1122x1在，12 和12，上均为增函数，且 ylog2t 为增函数f(x)在，12 和12，上均为增函数故 f1(x)在其定义域
11、上是增函数Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题应用了反函数的两个性质，从而回避了求 f1(x)的解析式，可求得 f1(x)1212x12x(x0)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 设 f1(x)是函数 f(x)12(axax)(a1)的反函数，则使 f1(x)1 成立的 x 的取值范围为()A(a212a，)B(，a212a)C(a212a，a)Da，)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：解法 1：求得 f1(x)loga(x x21)(a1)由 f1(x)1 得 loga(x x21)logaa，x
12、 x21a，解得 xa212a.解法 2：a1，f(x)12(axax)为增函数根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，f1(x)1.即在 f(x)中，在 x1 的条件下，求 f(x)的范围f(x)f(1)12(aa1)a212a.答案：ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1反函数的存在规律和解题技巧(1)反函数的存在规律 偶函数在其定义域上(定义域不能为0)一定没有反函数；奇函数在其定义域上不一定有反函数，如果有，则反函数仍为奇函数；单调函数必有反函数，且反函数的单调性与原函数相同；周期函数在其定义域上一
13、定没有反函数(2)灵活运用f1(a)bf(b)a有时可提高解题速度Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2互为反函数的图象之间的关系(1)函数yf(x)与它的反函数xf1(y)是同一函数，它们的图象相同(这时由图象所确定的对应关系不同，即f：xy；而f1：yx)(2)函数yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称(互为反函数的图象关于直线yx对称实质上是因为将反函数xf1(y)中的x、y互换后才引起图象发生变化)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (3)若函数yf(x)与其反函数yf1(x)的图象有交点，则交点或者在直线yx上，或者关于直线yx对称(4)若函数yf(x)与其反函数yf1(x)的图象有交点，且yf(x)是其定义域上的单调递增函数，则其交点必定在直线yx上Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究