1、课后素养落实(二十一)双曲线的标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1双曲线1的焦距为()A2BC5D10Am50，0m5，方程化为标准方程为1，c2m5m5，2c22双曲线1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A22或2 B7 C22 D5Aa225，a5由双曲线定义得|PF1|PF2|10，由题意知|PF1|12，|PF1|PF2|10，|PF2|22或23椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a()A1 B1 C1 D2B由双曲线1知：a0且双曲线的焦点为(，0)，而其与椭圆1有相同焦点，a21)二、填空题6已知点F1，F2分别是双曲线1(a0)的左、右焦点，P是该双曲线
2、上的一点，且|PF1|2|PF2|16，则PF1F2的周长是_34因为|PF1|2|PF2|16，所以|PF1|PF2|16882a，所以a4，又b29，所以c225，所以2c10PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|16810347P为双曲线x21右支上一点，M，N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为_5双曲线的两个焦点F1(4，0)，F2(4，0)分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r12，r21，易知|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值为|PF1|2(|PF2|1)|PF1|PF2|32358已知
3、定点A的坐标为(1，4)，点F是双曲线1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_9由双曲线的方程可知a2，设右焦点为F1，则F1(4，0)|PF|PF1|2a4，即|PF|PF1|4，所以|PF|PA|PF1|PA|4|AF1|4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|5，所以|PF|PA|AF1|49，即|PF|PA|的最小值为9三、解答题9根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点P(4，2)和点Q(2，2)；(2)c，经过点(5，2)，焦点在x轴上解(1)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)点P(4，2)和点Q(2，2)在双曲线上，解得双曲线的标
4、准方程为1(2)法一：依题意可设双曲线方程为1(a0，b0)依题设有解得所求双曲线的标准方程为y21法二：焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中06)双曲线经过点(5，2)，1，5或30(舍去)所求双曲线的标准方程是y2110已知动圆M与圆C1：(x3)2y29外切且与圆C2：(x3)2y21内切，求动圆圆心M的轨迹方程解设动圆M的半径为r因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切， 所以|MC1|r3，|MC2|r1相减得|MC1|MC2|4又因为C1(3，0)，C2(3，0)，并且|C1C2|64，所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，且有a2，c3所以b25，所求的轨迹方程为
5、1(x2)1(多选题)已知F1，F2分别为双曲线1(a0，b0且ab)的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，则下列为真命题的是()APF1F2的内切圆的圆心必在直线xa上BPF1F2的内切圆的圆心必在直线xb上CPF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上DPF1F2的内切圆必经过点(a，0)AD设PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A，B，与F1F2切于点M，则|PA|PB|，|F1A|F1M|，JP2|F2B|F2M|又点P在双曲线的右支上，所以|PF1|PF2|2a，故|F1M|F2M|2a，而|F1M|F2M|JP22c，设点M的坐标为(x，0)(x0)，则
6、由|F1M|F2M|2a，可得(xc)(cx)2a，解得xa，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故AD为真命题2设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4 B8C24D48C由可解得又由|F1F2|10可得PF1F2是直角三角形，则S|PF1|PF2|243椭圆1与双曲线y21有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为_，P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为_2424由已知椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)，F2(0，5)，由椭圆与双曲线的定义可得所以或又|F1F2|10，PF1F2为直角三角形，F
7、1PF290，所以周长为|PF1|PF2|F1F2|141024，S|PF1|PF2|244从双曲线1(a0，b0)的左焦点F引圆x2y2a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M是线段PF的中点，O为原点，则|MO|MT|的值是_ba如图所示，设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，则|PF|PF1|2a，在RtFTO中，|OF|c，|OT|a，所以|FT|b，又M是线段PF的中点，O为FF1的中点，所以|PF|2|MF|2(|MT|b)，所以|MO|PF1|(|PF|2a)(2|MT|2b2a)|MT|ba，即|MO|MT|ba某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了
8、一次模拟试验如图，内陆海湾的入口处有暗礁，其中线段AA1，B1B，CC1，D1D关于坐标轴或原点对称，线段B1B的方程为yx，xa，b，过O有一条航道有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点M处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N处晚1 s(设海面上声速为a m/s)若该船沿着当前的航线航行(不考虑轮船的体积)(1)兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是什么？(2)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由解(1)设轮船所在的位置为P，由题意可得|PM|PN|aa|MN|a，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支设所求双曲线方程为1(m0，n0)，则ma，na故兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是4x2y2a2(xa)(2)这艘船能由海上安全驶入内陆海湾设直线l的方程为yy0(0y0b)当0y0a时，设l与双曲线右支、直线xa分别交于点Q1，S1，则Q1，S1(a，y0)a，点Q1在点S1的左侧，船不可能进入暗礁区当ay0b时，设l与双曲线右支、直线yx分别交于点Q2，S2，则Q2，S2(y0，y0)(ya2)y0，y0，点Q2在点S2的左侧，船不可能进入暗礁区综上，在x轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾