1、第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1.向量的概念和表示方法(1)向量的两个要素:_和_.(2)向量的表示大小方向大小方向2.向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义:向量的_.(2)向量的长度表示:向量,a的长度分别记作:_,_.(3)特殊向量_的向量为零向量;_的向量为单位向量.AB大小AB|a|长度为0长度等于1个单位3.向量的关系(1)相等向量:长度_且方向_的向量,用有向线段表示的向量a与b相等,记作:a=b.(2)平行向量:方向_的非零向量,也叫_;a平行于b,记作_;规定零向量与任一向量_.相等相同相同或相反共线向量ab平行1.判一判(正确的打“”,
2、错误的打“”)(1)向量就是数量.()(2)向量与向量是相等向量.()(3)两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行.()ABBA【解析】(1)错误.向量有两个要素:大小和方向,而数量只有大 小,没有方向,故两者不同.(2)错误.向量 与向量 方向相反,不是相等向量.(3)错误.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线平 行或重合.答案:(1)(2)(3)ABBA2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)有向线段有三个要素:起点、方向和 .(2)对于风速,浮力,位移和质量这四个量中,不是向量的是 .(3)零向量的方向是 ;零向量的模等于 .【解析】(1)有向线段有三个要素:起
3、点、方向和长度.答案:长度(2)风速,浮力,位移既有大小,又有方向,是向量,而质量只有大小,没有方向,不是向量.答案:质量(3)零向量的方向是任意的;零向量的模等于0.答案:任意的 0【要点探究】知识点1 向量的概念1.向量与数量的区别和联系向量数量区 别方向有无表示方法可以用有向线段表示,也可以用字母符号表示因为实数与数轴上的点一一对应,所以数量常常用数轴上的一个点表示实例位移、力、速度、加速度年龄、身高、长度、面积、体积、质量、功向量数量联系(1)向量与数量都是有大小的量(2)向量的模是数量2.向量与有向线段的区别(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.只要大小和方向相同,这两个向量
4、就是相等的向量.(2)有向线段是表示向量的工具,它有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.【微思考】(1)有向线段就是向量,向量就是有向线段吗?提示:有向线段只是一个几何图形,是向量的直观表示.因此,有向线段与向量是完全不同的两个概念.(2)两个向量能比较大小吗?提示:向量有方向、大小双重性,而方向是不能比较大小的,因此向量不能比较大小.【即时练】1.下列说法正确的是()A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.任意两个单位向量方向相同D.同向的两个向量可以比较大小.2.下列说法:(1)温度有零上温度,有零下温度,所以温度是向量.(2)作用力和反作用力
5、是一对大小相等,方向相反的向量.(3)电流是既有大小又有方向的量,因此是向量.其中正确的序号是 .【解析】1.选B.零向量的长度为0,方向是任意的,故A错误,B正确.任意两个单位向量长度相等,但方向不一定相同.故C错误.向量不能比较大小,故D错误.2.(1)中虽然温度有零上和零下之分,但不是方向,故温度不是向量,(1)不正确.(2)中作用力和反作用力是作用于同一点,且大小相等,方向相反的两个力,而力是向量,故(2)正确.(3)中电流虽然是既有大小又有方向的量,但大小和方向不是几何意义上的大小与方向,故(3)不正确.答案:(2)知识点2 向量间的关系1.平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向
6、量,若向量a,b平行,则记作ab.规定零向量与任一向量平行,即对于任意向量a,都有0a.2.相等向量任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量,因为向量完全由它的方向和模确定.3.共线向量由于向量与起点无关,因此向量是自由移动的,也就是说,任何一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此平行向量也称为共线向量.【微思考】两个向量的长度相等,那么这两个向量就是相等向量吗?提示:不一定,两个向量的长度相等,方向相同时,才是相等向量.【即时练】下列说法正确的是()A.共线向量是相等向量B.相等向量是共线向量C.
7、相等向量的起点和终点分别相同D.若平行向量有相同的起点,则它们有相同的终点【解析】选B.共线向量是指方向相同或相反的向量,与向量的长度无关,相等向量是指长度相等且方向相同的向量,故A错误,B正确;由于向量是可以自由移动的,因此相等向量的起点和终点不一定分别相同,故C错误.若两个有相同起点的平行向量方向相同且长度不等或方向相反,则它们的终点不同,故D错误.【题型示范】类型一 相等向量和共线向量【典例1】(1)给出下列说法若a与b同向,且|a|b|,则ab.若ab,则a=b.若a=b,则ab.若a=b,则|a|=|b|.若ab,则a与b不是共线向量,其中正确说法的序号是 .(2)(2014南阳高一
8、检测)如图,D,E,F分别是ABC各边上的中点,四边形BCMF是平行四边形,请分别写出:与模相等且共线的向量;与相等的向量.CMED【解题探究】1.题(1)中的相等向量与共线向量有怎样的关系?两向量能否比较大小?2.题(2)中如何找出与 共线,及与 相等的向量.【探究提示】1.相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定 是相等向量;两个向量不能比较大小.2.根据平行四边形的对边平行且相等和三角形的相关性质.CMED【自主解答】(1)错误.因为两个向量不能比较大小.错误.若ab,则a与b的方向不一定相同,模也不一定相等,故无法得到a=b.正确.若a=b,则a与b的方向相同,故ab.正确.若a=b,
9、则a与b模相等,即|a|=|b|.错误.若ab,则a与b有可能模不相等但方向相同,所以有可能是共线向量.答案:(2)由平面几何知识得 DE,ED,BF,FB,FA,AF,MC.FB,AF,MC.【方法技巧】相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.【变式训练】(2014怀化高一检测)下列命题正确的是()A.向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线B.向量a与b
10、不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线C.向量是共线向量,则A,B,C,D四点一定共线D.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量ABCD与【解析】选D.当b=0时,A不对;如图,a=,b=,c=,b与a,b与c均不共线,但a与c共线,所以B错.在平行四边形ABCD中,与 共线,但A,B,C,D四点不共线,所 以C错;若a与b有一个为零向量,则a与b一定共线,所以a,b不共 线时,一定有a与b都是非零向量,故D正确.ABBDBCABCD【误区警示】本题易忽视零向量的方向是任意的,和任意向量都共线这一性质,从而错选A.【补偿训练】如图所示是43的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点
11、都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与相等的向量共有几个?(2)与平行且模为 的向量共有几个?(3)与方向相同且模为的向量共有几个?AB3 22ABAB【解析】(1)与向量 相等的向量共有5个(不包括 本身).(2)与向量 平行且模为 的向量在每一个小正方形中有两 个,共有24个.(3)与向量 方向相同且模为 的向量共有2个.3 22ABABABAB类型二 向量的表示以及在几何中的应用【典例2】(1)如图所示,已知AD=3,B,C是线段AD的两个三等分点,分别以图中各点为起点和终点,长度大于1的向量的个数为()A.3 B.4 C.5 D.6(2)(2014潭州高一检测)若|=|且=,则四边
12、形ABCD的形状为()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形(3)如图,在ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,F,G分别是AB,AC上的点,且AFAB=14,AGGC=13,求证:向量共线.ABCDADBADEFG和【解题探究】1.题(1)中长度大于1的向量的模应为多少?2.题(2)中由|=|可得到什么结论?=呢?3.题(3)中由AFAB=14,AGGC=13能得到FG与BC有怎样的 关系?ABCDADBA【探究提示】1.长度大于1的向量的模为2或3.2.由|=|可得四边形邻边相等.由 =知AB=CD且 ABCD,即四边形ABCD为平行四边形.3.由AFAB=14,AGGC=13可得
13、AFFB=13.又AGGC=13,所以AFFB=AGGC,所以FGBC.ABADCDBA【自主解答】(1)选D.根据题意可得:模等于2的向量有 模等于3的向量有 故图中长度大于1的向量共 有6个.(2)选C.由 知AB=CD且ABCD,即四边形ABCD为平行四 边形.又因为|=|,所以四边形ABCD为菱形.AC,CA,BD,DB,AD,DA.BACDABAD(3)因为D,E分别是边AB,AC的中点,所以DE是ABC的中位线,从而DEBC.又因为AFAB=14,所以AFFB=13.又AGGC=13,所以AFFB=AGGC,所以FGBC.由可知,DEFG,所以向量 共线.DEFG和【方法技巧】1.
14、用有向线段表示向量的关注点(1)用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据 向量模的大小确定向量的终点.(2)有时需依据直角三角形等知识来求出向量的方向(即夹角)或长度(模),选择合适的比例关系作出向量.2.利用向量相等或共线证明平行、相等问题(1)证明线段相等,只需证明相应向量的长度(模)相等.(2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线.【补偿训练】如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点最多可以写出 个互不相等的非零向量.【解析】可设AD的长度为3,那么长度为1的向量有6个,其中 长度为2的向量有4个,其中 长度为3的向量有2个,分别是 和
15、,所以最多 可以写出6个互不相等的向量.答案:6 ABBCCD,BACBDC;ACBD,CADB;ADDA【易错误区】对向量有关概念理解不准致误【典例】(2014邢台高一检测)给出下列叙述:(1)两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同.(2)若则ABCD是平行四边形.(3)平行四边形ABCD中,一定有(4)若m=n,n=k,则m=k.其中正确的有()A.(1)(3)(4)B.(2)(4)C.(1)(4)D.(3)(4)ABDC,ABDC.【解析】选D.(1)错误.两个向量相等,它们的起点和终点都不 一定相同.(2)错误.(3)正确.平行四边形ABCD中,ABDC,AB=DC且有向线段AB与D
16、C 方向相同,所以(4)正确.若m=n,n=k,则m,k都与n长度相等且方向相同,所以 m=k.若 则A,B,C,D四个点有可能在同一 条直线上,所以ABCD不一定是平行四边形.ABDC,ABDC.【常见误区】错解 错因剖析 选A或B 在处对向量相等的概念理解不准或在处对向量相等理解不到位致错【防范措施】正确理解向量的有关概念 解答向量的有关问题时,要紧扣向量的定义,从向量的大小和方向两个角度分析问题.如本例(1)(3)(4)判断两个向量相等,就要判断方向和长度两个方面是否都相同.同时要明确向量共线和平行与平面几何中的“共线”“平行”的区别.【类题试解】(2014通辽高一检测)下列关于向量的结论:(1)若|a|=|b|,则a=b或a=-b.(2)向量a与-b平行,则a与-b的方向相同或相反.(3)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量.(4)若向量a与b同向,且|a|b|,则ab.其中正确结论的序号为 .【解析】(1)错误.因为只知|a|=|b|,a与b的方向不知.(2)错误.因为没告诉是非零向量,故(2)不对,因为零向量的方向是任意的.(3)正确.方向相同且模相等的向量是相等向量,与向量的起点无关.(4)错误.向量与数不同,向量不能比较大小.答案:(3)