1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 综合法、分析法、反证法 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 内容 综合法 分析法 定义 从命题的_出发，利用_，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的_，直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法 从_出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的_，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法 条件定义、公理、定理及运算法则结论求证的结
2、论充分条件基础诊断考点突破课堂总结实质由因导果执果索因框图表示PQ1 Q1Q2 QnQQP1 P1P2 得到一个明显成立的条件文字语言因为所以 或由得要证只需证即证基础诊断考点突破课堂总结2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义：在假定命题结论_的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法.(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从
3、而肯定原命题的结论成立.反面成立基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(2)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.()基础诊断考点突破课堂总结解析(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件.(2)应假设“ab”.(3)反证法只否定结论.答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破课堂总结2.要证 a2b21a2b2
4、0，只要证明()A.2ab1a2b20 B.a2b21a4b420C.（ab）221a2b20 D.(a21)(b21)0解析 a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案 D 基础诊断考点突破课堂总结3.若 a，b，c 为实数，且 ab0，则下列命题正确的是()A.ac2abb2C.1aab解析 a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结4.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3axb0没有实根 B.方程x3axb0至多有一个实根 C.
5、方程x3axb0至多有两个实根 D.方程x3axb0恰好有两个实根 解析 因为“方程x3axb0至少有一个实根”等价于“方程x3axb0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3axb0没有实根”.答案 A 基础诊断考点突破课堂总结5.在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_.解析 由题意 2BAC，又 ABC，B3，又 b2ac，由余弦定理得 b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC3，ABC 为等边三角形.答案 等边三角形 基础诊断考点突破课堂总结
6、考点一 综合法的应用【例 1】(2017东北三省三校模拟)已知 a，b，c0，abc1.求证：(1)a b c 3；(2)13a113b113c132.证明(1)(a b c)2(abc)2 ab2 bc2 ca(abc)(ab)(bc)(ca)3，a b c 3.基础诊断考点突破课堂总结(2)a0，3a10，43a1(3a1)243a1（3a1）4，43a133a，同理得43b133b，43c133c，以上三式相加得413a113b113c1 93(abc)6，13a113b113c132.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)
7、定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱.基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】已知四棱锥 SABCD 中，底面是边长为 1 的正方形，又 SBSD 2，SA1.(1)求证：SA平面 ABCD；(2)在棱 SC 上是否存在异于 S，C 的点 F，使得 BF平面SAD？若存在，确定 F 点的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明 由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.基础诊断考点突破课堂总结(2)
8、解 假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD，BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，假设不成立.不存在这样的点F，使得BF平面SAD.基础诊断考点突破课堂总结考点二 分析法的应用【例 2】已知 a0，证明：a2 1a2 2a1a2.证明 要证a2 1a2 2a1a2，只需证a2 1a2a1a(2 2).因为 a0，所以a1a(2 2)0，所以只需证a2 1a2 2a1a（2 2）2，即 2(2 2)a1a 84 2，只需证 a1a2.基础诊断考点突破课堂总结因为 a0，a1a2 显然成立a1a1时等
9、号成立，所以要证的不等式成立.规律方法(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.求证：1ab 1bc3abc.证明 要证 1ab 1bc3abc，即证abcab abcbc 3 也就是 cab abc1，只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证
10、 c2a2acb2，又ABC 三内角 A，B，C 成等差数列，故 B60，由余弦定理，得 b2c2a22acos 60，即 b2c2a2ac，故 c2a2acb2 成立.于是原等式成立.基础诊断考点突破课堂总结考点三 反证法的应用【例 3】等差数列an的前 n 项和为 Sn，a11 2，S393 2.(1)求数列an的通项 an 与前 n 项和 Sn；(2)设 bnSnn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(1)解 由已知得a1 21，3a13d93 2，解得 d2，故 an2n1 2，Snn(n 2).基础诊断考点突破课堂总结(2)证明 由(1)得 bnSnn n
11、 2.假设数列bn中存在三项 bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则 b2qbpbr.即(q 2)2(p 2)(r 2).(q2pr)2(2qpr)0.p，q，rN*，q2pr0，2qpr0.pr22pr，(pr)20.pr，与 pr 矛盾.数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.(2)用反证法证明不等式要把握三点：必须否定结论；必须从
12、否定结论进行推理；推导出的矛盾必须是明显的.基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(2017济南质检)若 f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数 h(x)1x2是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在.求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由.基础诊断考点突破课堂总结解(1)由题设得 g(x)12(x1)21，其图象的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，即12b2b32b，解得 b1 或 b3.因为 b1，所以 b3.基础诊断考点突破课堂总结(2)假设函数 h(x)1x2在区间a，b(a2)
13、上是“四维光军”函数，因为 h(x)1x2在区间(2，)上单调递减，所以有h（a）b，h（b）a，即 1a2b，1b2a，解得 ab，这与已知矛盾.故不存在.基础诊断考点突破课堂总结思想方法 分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论.2.在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.