1、考点一相似三角形的判定及性质1(2014天津，7)如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF.则所有正确结论的序号是()A BC D解析由弦切角定理可得DBFDAB，又CBDCADDAB，所以DBFCBD，即BD是CBF的平分线，所以正确；由切割线定理可得正确；由相交弦定理可得，所以错误；因为ABFBDF，所以，即AFBDABBF，所以正确故正确结论的序号是.答案D2(2014陕西，15B)如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半
2、圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF_解析由圆内接四边形对角互补的特征可得到AEFACB，AEFACB，EF3.答案33(2014广东，15)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则_解析由CDAE，得CDFAEF，于是3.答案34(2013陕西，15B)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知AC，PD2DA2，则PE_解析PEBC，CA，PEDCA.PDEPEA.，即PE2PDPA.又PD2，DA1，PA3.PE2236，故PE.答案5(2012陕西，15B)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E
3、，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB_解析由相交弦定理得AEEBDE2，DE.又DEBDFE，DE2DFDB5.答案56(2011广东，15)如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2.E，F分别为AD，BC上一点，且EF3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为_解析如图，延长AD，BC交于一点O，作OHAB于点H.，得x2h1，得h1h2.S梯形ABFE(34)h2h2，S梯形EFCD(23)h1h1，S梯形ABFES梯形EFCD75.答案757(2015新课标全国，22)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE
4、是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小解(1)连接AE，由已知得，AEBC，ACAB.在Rt AEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.连接OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，DE是O的切线(2)设CE1，AEx，由已知得AB2，BE.由射影定理可得，AE2CEBE，所以x2，即x4x2120.可得x，所以ACB60.8(2015江苏，21(A)如图，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证：ABDAEB.证明因为ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE，又BAE为公共角，可知ABDAEB.考点二直线与圆的位置
5、关系1(2015天津，6)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM2，MD4，CN3，则线段NE的长为()A. B3C. D.解析由圆的相交弦定理得CMMDAMMBAB28，CNNEANNBAB28，而CN3，所以NE，选A.答案A2(2015广东，15)如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB4，CE2，则AD_解析连接OC，则OCDE，ADDE，OCAD，由切割线定理得CE2BEAE，BE(BE4)12.即BE24BE120，解得BE2(舍负)，AD3.答案33(2015新课标全
6、国，22)如图，O是等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点(1)证明EFBC；(2)若AG等于O半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积解(1)由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线又因为O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故ADEF.从而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线又EF为O的弦，所以O在AD上连接OE，OM，则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2，所以AO4，OE2.因
7、为OMOE2，DMMN，所以OD1.于是AD5，AB.所以四边形EBCF的面积为(2)2.4(2015陕西，22)如图，AB切O于点B，直线AO 交O于D，E两点，BCDE，垂足为C.(1)证明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直径(1)证明因为DE为O直径，则BEDEDB90，又BCDE，所以CBDEDB90，从而CBDBED，又AB切O于点B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)解由(1)知BD平分CBA，则3，又BC，从而AB3，所以AC4，所以AD3，由切割线定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O直径为3.5(2014新课标全国，22)如图，四边形AB
8、CD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以DCBE.由已知CBCE得CBEE，故DE.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形6(2014新课标全国，22)如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的
9、中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.证明(1)连接AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.7(2013辽宁，22)如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.证明(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF；又EFAB，得FEBEBF，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.类似可证：RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.