1、第2课时函数的最大(小)值课时过关能力提升基础巩固1.函数f(x)=x+1在x-1,1上的最大值为()A.-1B.0C.1D.2解析:f(x)=x+1在x-1,1上单调递增,f(x)max=f(1)=2.答案:D2.已知函数f(x)在区间-2,2上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2解析:由图象可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.答案:C3.函数y=-x2-4x+1,x-3,3的值域是()A.(-,5B.5,+)C.-20,5D.4,5解析:f(x)的图象开口向下,对称轴为x=-2,f(x)max=
2、f(-2)=5,f(x)min=f(3)=-20.答案:C4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量x的单位:辆.若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为 ()A.90万元B.120万元C.120.25万元D.60万元解析:设在甲地销售了x辆,则在乙地销售了(15-x)辆,所获得利润为y万元,则由已知得y=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30,其图象对称轴为x=192.由xN得,当x=9或10时,ymax=120万元.答案:B5.函数f(x)=4x-1,x12,1的值域是_.解析:f(x)=4x-1在1
3、2,1上是增函数,则f12f(x)f(1).又f12=412-1=1,f(1)=41-1=3,故1f(x)3.答案:1,36.函数f(x)=x2+2x-3在区间-2,2上的最大值为.解析:f(x)的图象开口向上,且对称轴为x=-1,故f(-2),f(2)中的一个值为最大值.又f(-2)=4-4-3=-3,f(2)=4+4-3=5,f(x)在-2,2上的最大值为5.答案:57.已知函数f(x)=x2,-1x1,1x,x1,则f(x)的最大值、最小值分别为_,_.解析:函数f(x)=x2,-1x1,1x,x1的图象如图所示.由图可知函数的最大值为1,最小值为0.答案:108.把长为12 cm的细铁
4、丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.解:设一个正方形的边长为x cm,两个正方形的面积和为S cm2,则另一个正方形的边长为12-4x4=3-x(cm),0x3,则S=x2+(3-x)2=2x-322+92.当x=32时,S取最小值92,即这两个正方形面积之和的最小值为92 cm2.9.已知函数f(x)=-2x-1.(1)求证:函数f(x)在区间2,3上是增函数;(2)求f(x)在区间2,3上的最大值和最小值.(1)证明设x1,x2是区间2,3上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-2x1-1-2x2-1=-21x1-1-1x2-1=-2(x2-1
5、)-(x1-1)(x1-1)(x2-1)=-2x2-x1(x1-1)(x2-1).2x10,x1-10,x2-10.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(3),所以函数f(x)在区间-2,3上的最大值为10.(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,其对称轴为x=m+22.由函数g(x)在区间-1,2上单调递增,可得m+22-1,解得m-4.故m的取值范围是(-,-4.能力提升1.已知函数f(x)=2x-3,当x1时,恒有f(x)m成立,则实数m的取值范围是()A.RB.(-,-1C.-1,+)D.解析:f(x)=2x-3是增函数,当x1时,f(x)f(1)=21-3=-
6、1,则m-1.答案:B2.函数f(x)=2x,0x1,2,1x2,3,x2的最大值是()A.0B.1C.2D.3解析:当0x1时,f(x)的最大值是f(1)=2;当1x0,则f(x)的最小值为f-b2=b24-b22+1=0,解得b=2.答案:25.记mina,b=a,ab,b,ab.若f(x)=minx+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为.解析:在同一平面直角坐标系内画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据minx+2,10-x(x0)的含义可知,f(x)=x+2,0x4,10-x,x4,所以函数f(x)的图象为图中的实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图
7、象的交点为(4,6).观察图象知,两图象的交点即为f(x)的图象的最高点,即f(x)的最大值为6.答案:66.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需要增加投入100元,最大月产量是400台.已知总收益满足函数R(x)=400x-12x2,其中x是仪器的月产量(单位:台).(1)将利润y(单位:元)表示为月产量x(单位:台)的函数;(2)当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润为多少?(总收益=总成本+利润)解:(1)设月产量为x台时,利润为y元,则总成本为(20 000+100x)元,所以y=R(x)-(20 000+100x)=400x-12x2-20 00
8、0-100x=-12x2+300x-20 000,0x400.(2)由(1)得y=-12(x-300)2+25 000,当x=300时,y有最大值25 000,即当月产量为300台时,公司所获得利润最大,最大利润为25 000元.7.已知函数f(x)=x2-ax+1,(1)求f(x)在区间0,1上的最大值;(2)当a=1时,求f(x)在区间t,t+1(tR)上的最小值.解:(1)因为函数f(x)=x2-ax+1的图象开口向上,其对称轴为x=a2,所以区间0,1的哪一个端点离对称轴远,则在哪个端点取到最大值,当a212,即a1时,f(x)的最大值为f(1)=2-a;当a212,即a1时,f(x)的最大值为f(0)=1.(2)当a=1时,f(x)=x2-x+1,其图象的对称轴为x=12.当t12时,f(x)在区间t,t+1上是增函数,可知f(x)min=f(t)=t2-t+1;当t+112,即t-12时,f(x)在区间t,t+1上是减函数,可知f(x)min=f(t+1)=t2+t+1;当t12t+1,即-12t12时,函数f(x)在区间t,12上单调递减,在区间12,t+1上单调递增,所以f(x)min=f12=34.综上可知,f(x)在区间t,t+1上的最小值为t2-t+1,t12,34,-12t12,t2+t+1,t-12.