1、新20版练B1数学人教A版第四章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.3log32+log30.125=()。A.0B.1C.2D.4答案：A解析：3log32+log30.125=log38+log318=log3818=0,故选A。2.函数f(x)=xlnx的零点为()。A.0或1B.1C.(1,0)D.(0,0)或(1,0)答案：B解析：函数f(x)的定义域为(0,+),由f(x)=0得x=0或lnx=0,即x=0或x=1。又因为x(0,+),所以x=1。故选B。3.(2019广东仲元中学高一期中)设x=lo
2、g214,y=212,z=7-2,则x,y,z的大小关系为()。A.yzxB.zxyC.xyzD.xzy答案：D解析：x=log214=-2,y=212=2。因为278=22,所以07-28-2=2,所以xz0,log2(x-2)0,解得x2且x3,故选C。5.下列函数中,图像关于y轴对称的是()。A.y=log2xB.y=xC.y=x|x|D.y=x-43答案：D解析：因为y=x-43=13x4是偶函数,所以其图像关于y轴对称。6.函数f(x)=x2+ln|x|的零点的个数为()。A.1B.2C.3D.4答案：B解析：由题意,作出函数y=x2与y=-ln|x|的图像如图。结合图像知,函数y=
3、x2与y=-ln|x|的图像有2个交点,即函数f(x)=x2+ln|x|的零点的个数为2,故选B。7.若函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围为()。A.(-,-1)15,+B.15,+C.-1,15D.(-,-1)答案：A解析：由题意得f(-1)0或f(-1)0,f(1)0,即-3a+1-2a0或-3a+1-2a0,3a+1-2a15或a200,则lg130(1+12%)n-1lg200,lg130+(n-1)lg1.12lg2+2,2+lg1.3+(n-1)lg1.12lg2+2,0.11+(n-1)0.050.30,解得n245。又nN*,n5
4、,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年。故选B。9.当0x12时,4xlogax,则a的取值范围是()。A.0,22B.22,1C.(1,2)D.(2,2)答案：B解析：当0x12时,14x2。要使4xlogax,则由对数函数的性质可得0a1。数形结合可知只需2logax,0a1,logaa2logax,即0ax对0x12恒成立,0a12。解得22a13成立的x的取值范围为()。A.(-,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+)答案：D解析：函数f(x)为奇函数,且定义域R,则x=0处有f(0)=0,即20-a20+1=0,解得a=1,f(x)=2x-12x+
5、1=1-22x+1。令f(x)13,则22x+12,则x1。使得f(x)13成立的x的取值范围为(1,+),故选D。11.(2019河北衡水第一中学高三一调)已知a,b0,且a1,b1,若logba1,则()。A.(a-1)(b-1)0B.(a-1)(a-b)0D.(a-1)(b-a)0答案：C解析：logbalogbb=1,当b1时,ab1,b-10,a-b0,(b-1)(a-b)0;当0b1时,0ab1,b-10,a-b0。故选C。12.如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图像的公共点,那么称这个点为“好点”。在下面的五个点M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2),G2,
6、12中,可以是“好点”的个数为()。A.0B.1C.2D.3答案：C解析：设指数函数为y=ax(a0,且a1),显然其图像不过点M,P;设对数函数为y=logbx(b0,且b1),显然其图像不过点N。故选C。二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。将答案填在题中的横线上)13.已知函数f(x)=23x+1+a的零点为1,则实数a的值为。答案：-12解析：由已知得f(1)=0,即231+1+a=0,解得a=-12。14.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可以断定该根所在区间为。答案：32,2解析：设f(x)=x3-2x-1,因
7、为方程x3-2x-1=0的一根在区间(1,2)内,所以根据二分法的规则,取区间中点32。因为f(1)=-20,f32=278-40,所以可以断定该根所在区间是32,2。15.若函数y=log12(3x2-ax+5)在-1,+)上是减函数,则实数a的取值范围是。答案：(-8,-6解析：令g(x)=3x2-ax+5,其图像的对称轴为直线x=a6。依题意,有a6-1,g(-1)0,即a-6,a-8。故a(-8,-6。16.(2019重庆第八中学高三适应性考试)对于函数f(x)=lgx2+1|x|(x0,xR)有如下命题:(1)函数y=f(x)的图像关于y轴对称;(2)当x0时,f(x)是增函数,当x
8、0时,f(x)是减函数;(3)函数f(x)的最小值是lg2;(4)f(x)无最大值,也无最小值。其中正确命题的序号是。答案：(1)(3)解析：f(-x)=lgx2+1|x|=f(x),所以(1)正确;f(x)=lgx2+1|x|=lg|x|+1|x|,当x(0,1)时,f(x)是减函数,当x(1,+)时,f(x)是增函数,所以(2)错;|x|+1|x|2,lg|x|+1|x|lg2,(3)正确,(4)错。三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0a0,x+30,解得-3x1,函数f
9、(x)的定义域为(-3,1)。函数可化为f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3),由f(x)=0,得-x2-2x+3=1,即x2+2x-2=0,解得x=-13。x=-13(-3,1),f(x)=0的实数根是x1=-1-3,x2=-1+3。(2)若函数f(x)的最小值为-2,求a的值。答案：函数可化为f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga-(x+1)2+4。-3x1,0-(x+1)2+44。0a0时,f(x)=2x-32-x。(1)当x0时,求f(x)的解析式;答案：当x0,f(-x)=2-x-32x,又f(x)是奇函数,f(-
10、x)=-f(x),-f(x)=2-x-32x,即当x0时,f(x)=-2-x+32x。(2)若f(x)=12,求x的值。答案：当x0时,2x-32-x=12,即222x-2x-6=0,解得2x=2或2x=-32(舍),x=1。综上可得,x=1-log23或x=1。19.(12分)已知函数f(x)=a-12x+1。(1)求证:不论a为何实数,f(x)总为增函数;答案：证明:f(x)的定义域为R,设任意x1x2,则f(x1)-f(x2)=a-12x1+1-a+12x2+1=2x1-2x2(1+2x1)(1+2x2)。x1x2,2x1-2x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)1,012x+1
11、1,-1-12x+10,-12f(x)12,f(x)的值域为-12,12。20.(12分)定义在-1,1上的奇函数f(x),当-1x0时,f(x)=-2x4x+1。(1)求f(x)在-1,1上的解析式;答案：设x(0,1,则-x-1,0),所以f(-x)=-2-x4-x+1。又因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=2-x4-x+1=2x4x+1,x(0,1。又f(0)=0,所以f(x)=-2x4x+1,x-1,0),0,x=0,2x4x+1,x(0,1,(2)求f(x)在(0,1上的单调性;答案：设x1,x2(0,1,且x10,f(x2)-f(x1)=2x24x2+1-2x14x1
12、+1=(2x2-2x1)(1-2x1+x2)(4x2+1)(4x1+1)0,所以f(x)在(0,1上单调递减。(3)当x(0,1时,若关于x的方程2xf(x)-2x+=0有解,试求的取值范围。答案：由(1)得原方程可化为4x+1-2x+=0,则=-22x+2x-1,因为x(0,1,令t=2x,则1t2,则=-t-122-34,得-3-1。故的取值范围为-3,-1)。21.(12分)定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),当2x6时,f(x)=12|x-m|+n,f(4)=31。(1)求m,n的值;答案：f(x)在R上满足f(x+4)=f(x),f(2)=f(6),12|2-m|+n
13、=12|6-m|+n,|2-m|=|6-m|,从而m=4,f(x)=12|x-4|+n。又f(4)=31,12|4-4|+n=31,n=30。(2)比较f(log3m)与f(log3n)的大小。答案：由(1)可知f(x)=12|x-4|+30,x2,6。1log342,5log34+46,f(log3m)=f(log34)=f(log34+4)=12|log34+4-4|+30=12log34+30。3log3304,f(log330)=12|4-log330|+30=12|log38130|+30。log38130log34,12log3412|log38130|,12log34+3012|
14、log38130|+30,f(log3m)f(log3n)。22.(12分)近年来,我国大部分地区遭遇雾霾天气,给人们的健康、交通安全等带来了严重影响。经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素,污染治理刻不容缓。为此,某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染。已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量。若经过5h过滤后还剩余90%的污染物。(1)求常数k的值;答案：由已知得,当t=0时,P=P0;当t=5时,P=90%P0。于是有90%P0=P0e-5k,解得k=-15ln0.9(或k0.022)。(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间。(精确到1h,参考数据:ln0.2-1.61,ln0.3-1.20,ln0.4-0.92,ln0.5-0.69,ln0.9-0.11)答案：当P=40%P0时,有0.4P0=P0e-kt,解得t=ln0.415ln0.9-0.9215(-0.11)=4.600.1142。故污染物减少到40%至少需要42小时。
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