1、高考资源网（） 您身边的高考专家2021-2022学年江苏省南京市金陵中学高三（上）学情检测热身数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1已知非零向量，那么“、的夹角为钝角”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2设UR，集合Ax|x23x+20，则A（UB）（）A（0，1）（2，+）B（，1（2，+）C（，1）（0，1）（2，+）D（，1（0，1）（2，+）3已知x0，y0，且，则y的最大值为（）A1BC2D4某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数
2、据（xi，yi）（i1，2，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）Aya+bxBya+bx2Cya+bexDya+blnx5九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究，在九章算术中古人对其解法的研究记载如下：记解n连环需要的步骤为f（n），anf（n+1）+f（n），研究发现an+1是等比数列，已知f（1）1，f（2）2，f（3）5，则a7（）A127B128C255D2566攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，
3、依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（）ABCD7已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）f（2x），当x1，1时，f（x）3x，若函数g（x）f（x）k（x2）的所有零点为xi（i1，2，3，n），当时，（）A6B8C10D128已知实数m，n满足（m+5）2+n21，则对于任意实数a，（a2m）2+（an）2的最小值为（）A4B16C17D25二、多项选择题（本大题共4小
4、题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9若函数f（x）sin|x|cos2x，则（）Af（x）是周期函数Bf（x）在，上有4个零点Cf（x）在（0，）上是增函数Df（x）的最小值为110已知P为双曲线y21上的动点，过点P作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，线段PA，PB的长分别为m，n，则下列结论正确的是 （）AAPBBk1k2CmnD|AB|11传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留
5、下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f（x）（x3）8，则（）Af（x）的展开式中的常数项是56Bf（x）的展开式中的各项系数之和为0Cf（x）的展开式中的二项式系数最大值是70Df（i）16，其中i为虚数单位12已知数列an满足：an+1an1+an，a11，设bnlnan（nN*），数列bn的前n项和为Sn，则下列选项正确的是（）（ln20.693，ln31.099）A数列a2n1单调递增，数列a2n单调递减Bbn+bn+1ln3CS2020693Db2n1b2n三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共2
6、0分）13（x1）（2x+1）10的展开式中x10的系数为 14已知，则sin2 15如图，在底面边长为2，高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 16已知函数f（x）x3+mx+n，对任意的x2，2，使得|f（x）|2，则m+n 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17在数列an为递增的等比数列，S37，且3a2是a1+3和a3+4的等差中项，Sn2n1，nN*这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由已知数列an的前n项和为Sn，_，bn，设数列bn的前
7、n项和为Tn，是否存在实数k，使得Tnk恒成立？18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为ABC的面积，满足4S（a2+b2c2）（）求角C的大小；（）若边长c2，求ABC的周长的取值范围19某农林科技大学培育出某一小麦新品种，为检验该新品种小麦的最佳播种日期，把一块地均分为A，B两块试验田（假设A，B两块试验田地质情况一致），10月10日在A试验田播种该新品种小麦，10月20日在B试验田播种该新品种小麦，小麦收割后，从这两块试验田收获的小麦中各随机抽取了20份（每份1000粒），并测其千粒重（单位：g），按照20，30），30，40），40，50进行分组，得到如下表格其中千
8、粒重不低于40g的小麦视为饱满，否则为不饱满20，30）30，40）40，50A试验田/份479B试验田/份7103（1）完成下面的22列联表，并判断是否有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关；10月10日播种10月20日播种合计饱满不饱满合计（2）从A，B两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，求抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率；（3）用样本估计总体，从A试验田随机选取50份（每份1000粒）小麦，记饱满的小麦份数为X，求数学期望E（X）参考公式：，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.001k02.0722.7063.8415.024
9、6.63510.82820如图，O1，O2分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点（点P不在AO2上）（）求证：平面APO1平面PO1O2；（）若O1O22，PAB45，求二面角APO1B的余弦值21已知点B（2，0），C（2，0），ABC的周长等于4+4，点M满足2（1）求点M的轨迹E的方程；（2）是否存在过原点的直线l与曲线E交于P，Q两点，与圆F：（x）2+y2交于R，S两点（其中点R在线段PQ上），且|PR|QS|，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由22已知函数f（x）xex2ax+a（aR）（1）当a0
10、时，求f（x）在2，2上的最值；（2）设g（x）2exax2，若h（x）f（x）g（x）有两个零点，求a的取值范围参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1已知非零向量，那么“、的夹角为钝角”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：当、的夹角为钝角时，则|cos，0，充分性成立，当，时，满足0，但不满足、的夹角为钝角，必要性不成立，、的夹角为，钝角是0的充分不必要条件，故选：A2设UR，集合Ax|x23x+20，则A（UB）（）A（0，1）（2，+）B（，1（2，+）C（，1）（0，1）（2，+）D（，1（0，1）（2，+）解：集
11、合Ax|x23x+20x|（x1）（x2）0x|x1或x2，又x|x（x+1）0且x+10x|1x0，所以UBx|x1或x0，则A（UB）x|x1或0x1或x2故选：D3已知x0，y0，且，则y的最大值为（）A1BC2D解：，又x0，当且仅当x1时，等号成立，y0，3y2+2y10，解得，故y的最大值为故选：D4某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i1，2，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）Aya+bx
12、Bya+bx2Cya+bexDya+blnx解：由散点图可知，在10至40之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，ya+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型故选：D5九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究，在九章算术中古人对其解法的研究记载如下：记解n连环需要的步骤为f（n），anf（n+1）+f（n），研究发现an+1是等比数列，已知f（1）1，f（2）2，f（3）5，则a7（）A127B128C255D256解：因为anf（n+1）+f（n），f（1）1，f（2）2，f（3）5，所以a1f（2）+f（1）3，
13、a2f（3）+f（2）7，则，所以数列an+1是首项为4，公比为2的等比数列，则，所以，则故选：C6攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（）ABCD解：设O为正八棱锥SABCDEFGH底面内切圆的圆心，连接OA，OB，取AB的中点M，连接SM、OM，则OM是底面内切圆半径R
14、，如图所示：设侧棱长为x，底面边长为a，由题意知ASB2，ASM，则sin，解得a2xsin；由底面为正八边形，其内切圆半径OM是底面中心O到各边的距离，AOB中，AOB45，所以AOM22.5，由tan451，解得tan22.51，所以tan22.51，所以1，解得，即侧棱与底面内切圆半径的长度之比为故选：A7已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）f（2x），当x1，1时，f（x）3x，若函数g（x）f（x）k（x2）的所有零点为xi（i1，2，3，n），当时，（）A6B8C10D12解：定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）f（2x），故图象关于x1对称，f（x）f（2x），故f（2+
15、x）f（x），f（4+x）f（2+x）f（x），即周期为4，又因为当x1，1时，f（x）3x，函数g（x）f（x）k（x2）的所有零点即为f（x）k（x2）的交点，因为时，对应图象如图，故共有5个零点，一个为2，另两对都关于（2，0）对称，2+22+2210，故选：C8已知实数m，n满足（m+5）2+n21，则对于任意实数a，（a2m）2+（an）2的最小值为（）A4B16C17D25解：点（m，n）在以（5，0）为圆心，以1为半径的圆上，（a2m）2+（an）2的几何意义为点B（a2，a）到点A（m，n）的距离的平方，又点（a2，a）在抛物线y2x上，如图：由图可知，当A为（4，0），B为（
16、0，0）时，|AB|最小为4，则（a2m）2+（an）2的最小值为16故选：B二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9若函数f（x）sin|x|cos2x，则（）Af（x）是周期函数Bf（x）在，上有4个零点Cf（x）在（0，）上是增函数Df（x）的最小值为1解：函数f（x）sin|x|cos2x，对于A：函数ysin|x|不是周期函数，故A错误；对于B：f（x），令f（x）0，在，上，求得x，故B正确；对于C：当x时，f（x）2sin2x+sinx1，所以f（x）4sinxcosx+cosx，由于，所以sinx0且cosx0
17、，故f（x）0，故函数f（x）在上单调递增，故C正确；对于D：由于f（x）2sin2x+sinx1，当sinx时，故D错误故选：BC10已知P为双曲线y21上的动点，过点P作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，线段PA，PB的长分别为m，n，则下列结论正确的是 （）AAPBBk1k2CmnD|AB|解：双曲线的渐近线方程为，即x，故A正确；PA、PB分别与两条渐近线垂直，故B错误；设P（x0，y0），则，即，故C正确；，当且仅当mn时等号成立，|AB|，故D错误故选：AC11传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球
18、的直径恰好与圆柱的高相等这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f（x）（x3）8，则（）Af（x）的展开式中的常数项是56Bf（x）的展开式中的各项系数之和为0Cf（x）的展开式中的二项式系数最大值是70Df（i）16，其中i为虚数单位解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，则圆柱的体积，球的体积，可得m，圆柱的表面积，球的表面积为，则n，可得f（x）（x3）8（x3）8，其二项展开式的通项为，令244r0，得r6，常数项为，故A错误；各
19、项系数和为f（1）0，故B正确；二项式系数的最大值为，故C正确；f（i），故D错误故选：BC12已知数列an满足：an+1an1+an，a11，设bnlnan（nN*），数列bn的前n项和为Sn，则下列选项正确的是（）（ln20.693，ln31.099）A数列a2n1单调递增，数列a2n单调递减Bbn+bn+1ln3CS2020693Db2n1b2n解：因为a11，an+1an1+an，所以即，令，则，所以g（x）单调递增，所以，所以a2n，a2n1都单调，又因为a1a3，a2a4所以a2n1单调递增，a2n单调递减，故A正确；欲证bn+bn+1lnan+lnan+1ln（anan+1）ln
20、3，即anan+13，即an+13，即an2，由，上式可化为，即an11，显然n2时，a11，当n3时，故an11成立，所以原不等式成立，故B正确，因为an1，2，所以，所以bn+bn+1ln2，ln3，S20201010ln2693，故C正确；因为a11，若a2n1，则a2n+12，因为a22，若a2n，则a2n+22，由数学归纳法，a2n1a2n，则a2n1a2n，b2n1b2n，故D不正确（D选项另解：由b10，b2ln2，可知b1b2，故D不正确）故选：ABC三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13（x1）（2x+1）10的展开式中x10的系数为 4096解：由题意可得，展
21、开式中x10的项为+4096x10，故展开式中x10 的系数为4096故答案为：409614已知，则sin2解：因为，所以两边平方，可得sin2+cos22sincos1sin2，解得sin2故答案为：15如图，在底面边长为2，高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为解：大球的半径为R1，设小球的半径为r，如图，由题意可知，OD，CD2r，CO1+r，所以（1+r）2（2r）2+（）2，2r210r+50，r（0，1），解得r，故答案为：16已知函数f（x）x3+mx+n，对任意的x2，2，使得|f（x）|2，则
22、m+n3解：f（x）3x2+m，当m0时，函数f（x）在2，2单调递增，要使|f（x）|2，必有，可得m3，与m0矛盾，不符合题意；当m0时，令f（x）0，可得x，f（x）+f（x）2n，函数f（x）的图象关于（0，n）对称，故函数f（x）的图象如下：当时，即m12时，只需，解得m5，与m12矛盾；当时，即12m0时，则有，可得m3，且，即，解得m3，综上，m3，把m3代入，可得n0，综上，m+n3，故答案为：3四、解答题（本大题共6小题，共70分）17在数列an为递增的等比数列，S37，且3a2是a1+3和a3+4的等差中项，Sn2n1，nN*这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题
23、中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由已知数列an的前n项和为Sn，_，bn，设数列bn的前n项和为Tn，是否存在实数k，使得Tnk恒成立？解：（1）若选时，数列an为公比为q的递增的等比数列，S37，且3a2是a1+3和a3+4的等差中项，故，解得a22，整理得，故q2或（舍去），所以（2）由（1）得所以，当k1时，使得Tnk恒成立，故k的最小值为1选时，Sn2n1，当n1时，a11所以，（首项符合通项），（2）由（1）得所以，当k1时，使得Tnk恒成立，故k的最小值为118在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为ABC的面积，满足4S（a2+b2c2）（）求角C的大
24、小；（）若边长c2，求ABC的周长的取值范围解：（）因为S为ABC的面积，满足4S（a2+b2c2），所以4absinC2abcosC，所以sinCcosC，即tanC，因为0C，所以C（）因为c2，C，所以由正弦定理，可得，所以a+b+csinA+sinB+2（sinA+sinB）+2sinA+sin（A）+24sin（A+）+2，因为0A，所以A+，所以sin（A+）1，24sin（A+）4，即4a+b+c6，所以ABC周长的取值范围是（4，619某农林科技大学培育出某一小麦新品种，为检验该新品种小麦的最佳播种日期，把一块地均分为A，B两块试验田（假设A，B两块试验田地质情况一致），10月
25、10日在A试验田播种该新品种小麦，10月20日在B试验田播种该新品种小麦，小麦收割后，从这两块试验田收获的小麦中各随机抽取了20份（每份1000粒），并测其千粒重（单位：g），按照20，30），30，40），40，50进行分组，得到如下表格其中千粒重不低于40g的小麦视为饱满，否则为不饱满20，30）30，40）40，50A试验田/份479B试验田/份7103（1）完成下面的22列联表，并判断是否有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关；10月10日播种10月20日播种合计饱满不饱满合计（2）从A，B两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，求抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率；（3）用
26、样本估计总体，从A试验田随机选取50份（每份1000粒）小麦，记饱满的小麦份数为X，求数学期望E（X）参考公式：，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.001k02.0722.7063.8415.0246.63510.828【解答】（1）补全的22列联表如下：10月10日播种10月20日播种合计饱满9312不饱满111728合计2020403.841，有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关（2）由（1）可得，从A试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，从B试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，所以从A，B两块试验田
27、的样本中各随机抽取1份小麦，抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率（3）从A试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，X，故20如图，O1，O2分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点（点P不在AO2上）（）求证：平面APO1平面PO1O2；（）若O1O22，PAB45，求二面角APO1B的余弦值【解答】（）证明：由题意可得O1O2平面PAB，O1O2PA，AO2为直径，APPO2，PO2O1O2O2，AP平面PO1O2，又AP平面APO1，平面APO1平面PO1O2；（）解：以O2为坐标原点，建立空间直角坐标
28、系，O1O22，AB2O1O24，PAB45，可得A（0，2，0），B（0，2，0），O1（0，0，2），P（1，1，0），设平面APO1的一个法向量为，平面BPO1的一个法向量为，由，取y11，得；由，取y21，得cos由图可知二面角APO1B为钝角，二面角APO1B的余弦值为21已知点B（2，0），C（2，0），ABC的周长等于4+4，点M满足2（1）求点M的轨迹E的方程；（2）是否存在过原点的直线l与曲线E交于P，Q两点，与圆F：（x）2+y2交于R，S两点（其中点R在线段PQ上），且|PR|QS|，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：（1）设M（x，y），A（x，y），由
29、2可得x2x，y2y，因为B（2，0），C（2，0），则BC4，又因为ABC的周长等于4+4，所以AB+AC44，故点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2a4，c2，则a2，b2，故点A的轨迹方程为（y0），则点M的轨迹方程E为：（y0）；（2）当直线l与x轴垂直时，可得|PR|1，|QS|1，即|PR|QS|，符合要求，此时直线l的方程为：x0；当直线l存在斜率时，设直线l的方程为ykx，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立可得（1+2k）x20，则x1+x20，x1x2，所以|PQ|x1x2|，圆心F（，0）到直线l：kxy0的距离d，则|RS|22，因为|PR|QS|，即|PR|+|
30、RQ|RQ|+|QS|，所以|PQ|RS|，即2，整理可得（4k+1）（k1）0，解得k1，此时直线l的方程为yx，综上，符合条件的直线存在三条，其方程为x0，yx22已知函数f（x）xex2ax+a（aR）（1）当a0时，求f（x）在2，2上的最值；（2）设g（x）2exax2，若h（x）f（x）g（x）有两个零点，求a的取值范围解：（1）当a0时，f（x）xex.f（x）ex（x+1），当x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0f（x）在（，1）上递减，在（1，+）上递增，（2）h（x）f（x）g（x）（x2）ex+a（x1）2，h（x）（x1）（ex+2a）当a0时，h（x）（x2）ex
31、，此时h（x）只有一个零点，当a0时，h（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增h（1）e0，h（2）a0当a2时，h（0）2+a0；当0a2时，h（x）有两个不同的零点；当a0时，令h（x）0，得x1或xln（2a）当时，h（x）（x1）（exe），h（x）0恒成立，h（x）在R上单调递增当时，即ln（2a）1若xln（2a）或x1，则h（x）0；若ln（2a）x1，则h（x）0h（x）在（，ln（2a）和（1，+）上单调递增，在（ln（2a），1）上单调递减当时，即ln（2a）1若x1或xln（2a），则h（x）0若1xln（2a）时，则h（x）0h（x）在（，1）和（ln（2a），+）上单调递增，在（1，ln（2a）上单调递减当a0时，h（1）e0，h（ln（2a）（2a）ln（2a）2+aln（2a）12a（ln（2a）2）2+10h（x）仅有一个零点，不合题意，综上，h（x）f（x）g（x）有两个零点，a的取值范围是（0，+）