1、第五章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性知识点1函数的零点1.%310#2￥*%下列图像表示的函数中没有零点的是()。图5-1-1-1答案：A解析：观察图像可知,A选项中图像表示的函数没有零点。故选A。2.%7#1￥67#%函数f(x)=2x-3的零点为()。A.32,0B.0,32C.32D.23答案：C解析：由f(x)=0,得2x-3=0,解得x=32,所以函数f(x)=2x-3的零点为32。故选C。3.%319#1#%(2020玉溪一中期中)下列函数不存在零点的是()。A.y=x-1xB.y=2x2-x-1C.y=x+1(x0),x-1(x0)D.
2、y=x+1(x0),x-1(x0)答案：D解析：令y=0,得选项A和C中函数的零点均为1和-1;B中函数的零点为-12和1;只有D中函数无零点。故选D。4.%9#*1#18*%(2020辽宁省实验中学期中)若y=f(x)是奇函数且x0(x00)是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点?()。A.y=f(-x)ex-1B.y=f(-x)e-x+1C.y=f(x)ex-1D.y=f(x)ex+1答案：C解析：因为f(x)是奇函数,所以f(-x0)=-f(x0),而x0是y=f(x)+ex的一个零点,所以f(x0)+ex0=0。对于选项A,f(x0)e-x0-1=-1-1=-
3、20,排除A;对于选项B,f(x0)ex0+1=-e2x0+10,排除B;对于选项C,f(-x0)e-x0-1=-f(x0)e-x0-1=1-1=0,C正确;对于选项D,f(-x0)e-x0+1=-f(x0)e-x0+1=20,排除D。故选C。5.%9#*262￥#%(2020武汉二中期中)已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c,则()。A.abcB.acbC.bacD.cab答案：B解析：由于f(-1)=12-1=-120,故f(x)=2x+x的零点a(-1,0)。由于g(2)=0,故g(x)的零点b=2。由于h12=-1+12=-1
4、20,故h(x)的零点c12,1,因此acb。故选B。6.%￥58#38*%(2020济宁一中高一检测)若f(x)=ax-b(b0)有一个零点3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是。答案：-1和0解析：因为f(x)=ax-b的零点是3,所以f(3)=0,即3a-b=0,也就是b=3a,所以g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1)。所以方程g(x)=0的两个根为-1和0,即函数g(x)的零点为-1和0。知识点2函数的零点存在定理7.%*68￥2￥7*%(2020大同高一月考)若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足f(0)0,f(2)0,则下列说法正确的是()。A.f(x)在
5、区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点答案：C解析：根据零点存在定理,由于f(0)f(1)0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图。故选C。8.%2511*#%(2020台州一中高一月考)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是()。A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)答案：
6、C解析：因为函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线,又f(-2)=e-2-40,f(-1)=e-1-30,f(0)=-10,所以f(0)f(1)0。故函数的一个零点所在的区间是(0,1)。故选C。9.%￥53#*85%函数f(x)=12x-x+2的零点所在的一个区间是()。A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)答案：D解析：函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线,f(2)f(3)=122123-3+2=1418-10,根据零点存在定理知,f(x)的零点所在的一个区间为(2,3)。故选D。10.%￥8#*1#49%(2020衡水中学高一期中)已知函数f(x)=6x-log2x
7、,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)答案：C解析：函数f(x)=6x-log2x在其定义域上连续,f(4)=32-20,故函数f(x)的零点在区间(2,4)上。故选C。11.%6#45*9%(2020淮安七校期中联考)函数f(x)=2x-3的零点在区间(k,k+1)内,则整数k的值为。答案：112.%8*15￥4%(2020杭州二中月考)若f(x)=x+b的零点在区间(0,1)内,则b的取值范围为。答案：(-1,0)13.%17￥4#8￥%(2020南京调考)证明:函数f(x)=2x-5x2+1在区间(2,3)内至少有一个零点。
8、答案：证明:因为函数f(x)=2x-5x2+1的定义域为R,且函数f(x)的图像在区间(2,3)上是连续不断的。又f(2)=22-522+1=-150,所以f(2)f(3)0,所以函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点。知识点3零点个数的判断14.%#764*4*%(2020荆州中学期中)二次函数y=ax2+bx+c中,ac0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,即二次函数y=ax2+bx+c有2个零点。故选B。15.%229#￥3￥%(2020双流中学月考)已知函数f(x)的图像是不间断的,且有如表所示的x,f(x)对应值表:x-2-1.5-1-0.500.511
9、.52f(x)-3.511.022.371.56-0.381.232.773.454.89则函数f(x)在区间-2,2内的零点个数至少为。答案：3解析：由f(-2)f(-1.5)0,f(-0.5)f(0)0,f(0)f(0.5)0可知,函数f(x)在区间-2,2内至少有3个零点。16.%#455￥5￥%(2020天津耀华中学高一检测)(易错题)函数f(x)=2xlog0.5x -1的零点个数为。答案：2解析：函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点,即2x|log0.5x|-1=0的解,即|log0.5x|=12x的解,作出函数g(x)=|log0.5x|和函数h(x)=12x的图像,如
10、图,由图可知,两函数图像共有2个交点,故函数f(x)有2个零点。17.%*9799%(2020闽侯第八中学高一月考)函数f(x)=ex+4x-3零点的个数是。答案：1解析：因为f(x)是R上的连续不断的函数,且f(0)=e0-30,所以f(x)在(0,1)上有零点。又f(x)是R上的增函数,所以f(x)只有1个零点。18.%88￥4#9%(2020重庆綦江高一期末联考)已知函数f(x)=2x-1(x2),3x-1(x2)。若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为()。A.(0,1)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,3)答案：A解析：因为函数f(x)=|2x-1|(x2
11、),3x-1(x2),所以作出函数f(x)的图像如图。方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,等价于函数y=f(x)的图像与直线y=a有三个不同的交点。根据图像可知,当0a1时,函数y=f(x)的图像与y=a有三个不同的交点,方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,故a的取值范围是(0,1)。故选A。题型函数零点的应用19.%￥843*1%(2020新余一中高一月考)设f(x)=x-1(x+1)-x,若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数解,则实数k的取值范围是()。A.1k54B.-1k54C.0k1D.-1k1),故函数f(x)的图像如图所示,由图可知:当-1k54时,函数f(x)的图
12、像与直线y=k有三个交点,即关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数解,故实数k的取值范围是-1k0且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是。答案：(1,+)解析：由f(x)=ax-x-a=0,可得ax=x+a,设y1=ax,y2=x+a,由题意可知,两函数的图像有两个不同的交点,分两种情况:当0a1时,如图,符合题意。综上所述,a的取值范围为(1,+)。23.%￥#5*￥890%(2020上海交大附中月考)对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=a(a-b1),b(a-b1)。设函数f(x)=(x2-2)*(x-1),xR,若方程f(x)=c恰有两个不同的解,则实数c的取值范围是。答案：(-
13、2,-1(1,2解析：由题意知f(x)=x2-2(-1x2),x-1(x2)。画出f(x)的图像(图略),数形结合可得实数c的取值范围是(-2,-1(1,2。24.%469￥*9%(2020成都模拟)设函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,函数g(x)=3ax-4x(xR)。(1)求g(x)的解析式;答案：解:因为f(x)=3x,且f(a+2)=18,所以3a+2=18,所以3a=2。因为g(x)=3ax-4x,所以g(x)=2x-4x。(2)若方程g(x)-b=0在x-2,2上有两个不同的解,求实数b的取值范围。答案：方法一:方程为2x-4x-b=0,令t=2x,x-2,2,则14t4,且方程t-t2-b=0在14,4上有两个不同的解。设y=t-t2=-t-122+14,y=b,则两函数图像在14,4内有两个交点。画出y=t-t2,t14,4的图像(部分),如图。由图知当b316,14时,方程有两个不同的解。方法二:方程为2x-4x-b=0,令t=2x,x-2,2,则14t4,所以方程t-t2-b=0在14,4上有两个不同的解。设f(t)=-t2+t-b,t14,4,所以=1-4b0b0,g(-3)0,g(2)0,解得3m4。所以m3,4)。根据根与系数的关系,可知t1+t2=-4,即log2+log2=-4,所以log2()=-4,=2-4=116。
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