1、第一章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式4.1一元二次函数知识点1一元二次函数的解析式1.%#9*355￥%(2020南昌二中检测)已知抛物线过点(-1,0),(2,7),(1,4),则其解析式为()。A.y=13x2-2x+53B.y=13x2+2x+53C.y=13x2+2x-53D.y=13x2-2x-53答案：B解析：可直接列方程组求解。2.%0￥3￥15*#%(2020河北枣强中学高一月考)如果一条抛物线的形状与抛物线y=13x2+2的形状相同,且顶点坐标是(4,-2),则它的解析式是。答案：y=13(x-4)2-2或y=-13(x-4)2-2解析：由题意得y=13(x-4)2-
2、2或y=-13(x-4)2-2。3.%*#￥5413#%(2020江苏丹阳高一检测)设点(3,1)及(1,3)为二次函数y=ax2-2ax+b的图像上的两个点,则函数f(x)的解析式为。答案：f(x)=-12x2+x+52解析：将点(3,1)及(1,3)分别代入f(x)=ax2-2ax+b中,有9a-6a+b=1,a-2a+b=3,解得a=-12,b=52。所以f(x)=-12x2+x+52。4.%5#3￥41%(2020株洲期末考试)完成下列题目。(1)已知一个二次函数图像的顶点坐标为(-1,-6),且经过点(2,12),求它的解析式;答案：解:设二次函数的解析式为y=a(x+1)2-6(a
3、0),将(2,12)代入解析式中,得12=a(2+1)2-6,解得a=2,所以y=2(x+1)2-6,即y=2x2+4x-4。故二次函数的解析式为y=2x2+4x-4。(2)已知二次函数的图像与x轴的交点坐标为(-3,0)和(1,0),且图像与y轴的交点坐标为(0,-6),求它的解析式。答案：设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x+3)(a0),因为图像与y轴的交点坐标为(0,-6),所以点(0,-6)在函数图像上,所以-6=a(0-1)(0+3),解得a=2。故二次函数的解析式为y=2(x-1)(x+3)=2x2+4x-6。知识点2一元二次函数的图像问题5.%*15#90%(2020张家口
4、二中高一月考)函数y=ax2+bx+c(a0,b0,c0,b0,又结合c0得4ac-b24abc,且a+b+c=0,则它的图像是()。图1-4-1-1答案：D解析：因为abc,a+b+c=0,所以a0,c0,所以抛物线开口向上,且与x轴有两个交点,故选D。8.%*5#153%(2020江西莲塘一中高一月考)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1-4-1-2所示,则点(a,c)在()。图1-4-1-2A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：由二次函数的图像的开口方向可知a0,由与y轴的交点在x轴下方可知c0。故点(a,c)在第四象限,故选D。9.%￥3#15￥2%(多选)
5、(2020陕西榆林一中高一月考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1-4-1-3所示,有以下结论,其中正确的是()。图1-4-1-3A.a+b+c1C.abc0D.4a-2b+c0答案：ABC解析：由题图可知x=1时y1,所以AB正确。因为-b2a=-1,且a0,所以b=2a0,所以C正确。因为x=-2,x=0时,y=1,所以当x=-2时,y=4a-2b+c0,所以D不正确。10.%￥0#52*9%(2020北京海淀外国语学校高一期中考试)将函数y=2(x+1)2-2的图像向平移个单位长度,再向平移个单位长度可得到函数y=2x2的图像。答案：右1上2(或上2右1)解析：y=2(x+1)
6、2-2的图像向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度即可得到y=2x2的图像(也可先上移再右移)。题型1利用二次函数的性质求函数值11.%9*279*%(2020辽宁大连八中高一月考)校运动会上,某运动员掷铅球时,他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y=-112x2+23x+53,则该运动员的成绩是()。A.6mB.10mC.8mD.12m答案：B解析：当y=0时,-112x2+23x+53=0,解得x=10或x=-2(舍去),故选B。12.%27*#17%(2020山西大同一中高一月考)已知m2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=
7、x2-2x的图像上,则()。A.y1y2y3B.y3y2y1C.y1y3y2D.y2y1y3答案：A解析：因为y=x2-2x在1,+)上是增函数,且m-1,m,m+1均在1,+)内,所以y1y20),若当x=m时,y0,所以x=0时,y=a0。因为函数图像的对称轴为直线x=-12,所以x=-1时y的值与x=0时y的值相等。又因为x=m,y0,所以-1m0,所以y0。题型2利用一元二次函数的性质求参数的取值范围14.%*#￥*3946%(2020福建福州一中高一月考)若函数y=(a-2)x2+2x-4的图像恒在x轴下方,则实数a的取值范围是。答案：-,74解析：当a=2时,不合题意;当a2时,由题意得a-20,=22+44(a-2)0,解得a1时随着x的增大而增大,x2x+m在-1,1上恒成立,即x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立。令y=x2-3x+1-m=x-322-54-m,其图像的对称轴为直线x=32。故函数y=x2-3x+1-m在区间-1,1上是减函数,所以y=x2-3x+1-m的最小值在x=1时取得,且ymin=-1-m,由题意得-1-m0,解得mm,解得m=-4,n=0。故m的值为-4,n的值为0。
