1、北京理工大学附中2014高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：直线与圆本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1过点直线与圆的位置关系是( )A相交B相切C相离D相交或相离【答案】A2直线与直线之间的距离是( )AB2CD【答案】C3若实数满足，则的最大值、最小值分别为( )A5、1B5、0C7、1D7、0 【答案】A4“”是直线相互垂直的( )A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分又不必要条件【答案】B5
2、方程表示的曲线是( )A一个圆B两个半圆C两个圆D半圆【答案】B6若直线2ay10与直线(3a1)xy10平行，则实数a等于( )A B C D【答案】C7如果直线与直线平行，则a等于( )A0BC0或1D0或【答案】D8经过圆C：(x1)2(y2)24的圆心且斜率为1的直线方程为( )Axy30Bxy30Cxy10Dxy30【答案】A9已知定圆O1、O2的半径分别为r1、r2，圆心距|O1O2|=2，动圆C与圆O1、O2都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为e1、e2，则的值为( )Ar1+r2Br1和r2中的较大者Cr1和r2中的较小者D|r1r2|【答案】B
3、10设点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是( )A或BCD或【答案】A11直线平分圆的周长，则( )A3B5C 3D 5【答案】B12两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是( )Am=1Bm=1且n-1Cm=-1且n1Dm=1且n-1 或 m=-1且n1【答案】D第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13已知点A（4，4）在抛物线上，该抛物线的焦点为F，过点A作直线l：的垂线，垂足为M，则MAF的平分线所在直线的方程为 。【答案】14在平面直角坐标系中，已知射线 ，过点作直线分别交射线、于点、，若，
4、则直线的斜率为_.【答案】215圆x 2 + y 2 2 a x cos 2 b y sin a 2 sin 2 = 0在x轴上截得的弦的长是 。【答案】2 | a |16圆心在直线2xy7=0上的圆C与y轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C的方程为 .【答案】 (x2)2+(y+3)2=5 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长。 【答案】（1）由两点式写方程得 ，即 6x-y+11=
5、0或 直线AB的斜率为 直线AB的方程为 即 6x-y+11=0(2）设M的坐标为（），则由中点坐标公式得 故M（1，1）18已知点A的坐标为，直线的方程为320，求：(1）点A关于直线的对称点A的坐标； (2）直线关于点A的对称直线的方程.【答案】（1）设点A的坐标为（，）. 因为点A与A关于直线对称，所以AA，且AA的中点在上，而直线的斜率是3，所以.又因为.又直线的方程为320，AA中点坐标()，所以320.由和，解得2，6. 所以A点的坐标为(2，6). (2）关于点A对称的两直线与互相平行，于是可设的方程为3c0. 在直线上任取一点M(0，2），其关于点A对称的点为M（，），于是M点
6、在上，且MM的中点为点A，由此得，即：，6.于是有M（，6）.因为M点在上，所以3（）60，18.故直线的方程为3180 .19已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线.(1）求直线的方程；(2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积.【答案】(1)联立两直线方程解得 则两直线的交点为P(-2,2) 直线x-2y-1=0的斜率为 直线垂直于直线x-2y-1=0,那么所求直线的斜率k=所求直线方程为y-2=-2(x+2) 就是 2x+y+2=0(2)对于方程2x+y+2=0，令y=0 则x=-1 ,则直线与x轴交点坐标A(-1,0)令x=0则y=-2则直线与x轴交点坐标B(0,-2) 直线l与坐标
7、轴围成的三角形为直角三角形AOB 20如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.【答案】以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则O1（-2，0），O2（2，0），由已知：,即 ， 因为两圆的半径都为1,所以有：，设P（x,y） 则（x+2）2+y2-1=2(x-2)2+y2-1， 即 综上所述，所求轨迹方程为：（或）21已知圆和直线 证明：不论取何值，直线和圆总相交； 当取何值时，圆被直线截得的弦长最短？并求最短的弦的长度【答案】方法一
8、：圆的方程可化为：，圆心为，半径.直线的方程可化为：，直线过定点，斜率为.定点到圆心的距离，定点在圆内部，不论取何值，直线和圆总相交.方法二：圆的方程可化为：，圆心为，半径.圆心到直线的距离，因，故，不论取何值，直线和圆总相交. 圆心到直线的距离被直线截得的弦长，当时，弦长；当时，弦长，下面考虑先求函数的值域.由函数知识可以证明：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增（证明略），故当时，函数在处取得最大值2；当时，函数在处取得最小值2.即或，故或，可得或，即且，且，且.综上，当时，弦长取得最小值；当时，弦长取得最大值4. 22设圆满足：()截y轴所得弦长为2；()被x轴分成
9、两段圆弧，其弧长的比为31在满足条件()、()的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.【答案】解法一 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|。由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，圆P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2。 又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r2=a2+1。从而得2b2-a2=1。又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4aba2+4b2 -2(a2+b2)=2b2-a2=1，当且仅当a=b时，上式等号成立，从而要使d取得最小值，则应有，解此方程组得或。又
10、由r2=2b2知r=。于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。解法二 同解法一得d=，a-2b=d，得a2=4b2bd+5d2 将a2=2b2-1代入式，整理得2b24bd+5d2+1=0 把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即=8(5d2-1)0，得5d21。所以5d2有最小值1，从而d有最小值。将其代入式得2b24b+2=0，解得b=1。将b=1代入r2=2b2得r2=2，由r2=a2+1得a=1。综上a=1，b=1，r2=2。由|a-2b|=1知a，b同号。于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。
