1、2015-2016学年吉林省松原市油田高中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）ABCD2从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有（）A30种B36种C42种D60种3已知f（x）=，则的值为（）ABCD4函数f（x）=x3+ax2+3x9已知f（x）在x=3时取得极值，则a=（）A2B3C4D55根据给出的数塔猜测1234569+7=（）19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111123459+6
2、=111111A1111110B1111111C1111112D11111136设随机变量X服从正态分布N（，2），若P（X4）=P（X0），则=（）A2B3C9D17某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任市运动会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（）种A25B35C840D82081+C271+C272+C2727除以3所得余数为（）A0B1C2D39袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）ABCD10投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A=两次的点数均为奇数，B=两次的点数之和为4，则P（B|A）=（）ABCD11若S
3、1=x2dx，S2=，S3=，则S1，S2，S3的大小关系是（）AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S112已知f（x）=x23，g（x）=mex，若方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，则m的取值范围是（）ABCD（0，2e）二填空题：本大题共4个小题，每小题5分13复数z=i+i2+i3+i4的值是14已知随机变量X的分布列如图所示，则E（6X+8）=X123P0.20.40.415只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有个16（x2+1）（x2）9=a0+a1（x1）+a2（x1）2+a3（x1）3+a11
4、（x1）11，则a1+a2+a3+a11的值为三解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=lnxbx+c，f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+y+4=0（）求f（x）的解析式；（）求f（x）的单调区间18在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=2sin（）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|19某市为了了解“陕西分类招生考试”宣传情况，从A，B，C，D四所中学的学生当
5、中随机抽取50名学生参加问卷调查，已知A，B，C，D四所中学各抽取的学生人数分别为15，20，10，5（）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用表示抽得A中学的学生人数，求的分布列及期望值20某人摆一个摊位卖小商品，一周内出摊天数x与盈利y（百元），之间的一组数据关系见表：x23456y2.23.85.56.57.0已知=90， =112.3，（）计算，并求出线性回归方程；（）在第（）问条件下，估计该摊主每周7天要是天天出摊，盈利为多少？（参考公式：b=，a=b）212
6、016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：生二胎不生二胎合计70后30154580后451055合计7525100（）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由参考数据：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.005k2.0722.7063.8415.0246.6357.879（参考
7、公式：，其中n=a+b+c+d）22已知函数f（x）=ln（1+x）（a0）（）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（）若f（x）0在0，+）上恒成立，求a的取值范围；（）证明：（e为自然对数的底数）2015-2016学年吉林省松原市油田高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：=，复数的虚部为故选：A2从6名男生和2名女生中选出3名志愿者
8、，其中至少有1名女生的选法共有（）A30种B36种C42种D60种【考点】计数原理的应用【分析】从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，共有C83种结果，其中包括不合题意的没有女生的选法，其中没有女生的选法有C63用所有的结果是减去不合题意的数字，得到结果【解答】解：从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，共有C83种结果，其中包括不合题意的没有女生的选法，其中没有女生的选法有C63至少有1名女生的选法有C83C63=5620=36故选B3已知f（x）=，则的值为（）ABCD【考点】微积分基本定理【分析】利用分段函数的意义和微积分基本定理即可得出【解答】解： =+=故选D4函数f（x）=x3+ax
9、2+3x9已知f（x）在x=3时取得极值，则a=（）A2B3C4D5【考点】利用导数研究函数的极值【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=3时取得极值，可以得到f（3）=0，代入求a值【解答】解：对函数求导可得，f（x）=3x2+2ax+3f（x）在x=3时取得极值f（3）=0a=5，验证知，符合题意故选：D5根据给出的数塔猜测1234569+7=（）19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111123459+6=111111A1111110B1111111C1111112D1111113【考点】归纳推理【分析】分析已知中的数塔，可知，等式右边各数位上
10、的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，进而得到答案【解答】解：由19+2=11；129+3=111；1239+4=1111；12349+5=11111；归纳可得：等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，1234569+7=1111111，故选：B6设随机变量X服从正态分布N（，2），若P（X4）=P（X0），则=（）A2B3C9D1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】由题意和正态曲线的对称性可得【解答】解：随机变量X服从正态分布N（，2），且P（X4）=P（X0），由正态曲线的对称性可得曲线关系x=2对称，故=2，故选：A7某中学要从4名男生和3名
11、女生中选派4人担任市运动会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（）种A25B35C840D820【考点】计数原理的应用【分析】因为题目中有一个条件甲和乙不同去，因此解题时要针对于甲和乙去不去展开分类，包括三种情况：甲去，则乙不去；甲不去，乙去；甲、乙都不去根据分类计数原理得到结果【解答】解：男生甲和女生乙不能同时参加，可以分情况讨论，甲去，则乙不去，有C53=10种选法；甲不去，乙去，有C53=10种选法；甲、乙都不去，有C54=5种选法；根据分类计数原理知共有10+10+5=25种不同的选派方案故选：A81+C271+C272+C2727除以3所得余数为（）A0B1C2
12、D3【考点】组合及组合数公式【分析】求出表达式的值，然后求解除以3所得余数【解答】解：1+C271+C272+C2727=1+27+1=2+2714=2+3914，除以3所得余数为2故选：C9袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，其中恰有两个球同色C31C41=12种，根据概率公式计算即可【解答】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，其中恰有两个球同色C31C41=12种，故恰有
13、两个球同色的概率为P=，故选：B10投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A=两次的点数均为奇数，B=两次的点数之和为4，则P（B|A）=（）ABCD【考点】条件概率与独立事件【分析】此是一个条件概率模型的题，可以求出事件A包含的基本事件数，与在A发生的条件下，事件B包含的基本事件数，再用公式求出概率【解答】解：由题意事件记A=两次的点数均为奇数，包含的基本事件数是（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5）共9个基本事件，在A发生的条件下，事件B：两次的点数之和为4，包含的基本事件数是1，3，3，1共2个基本事件，P（B|A）=故选：C1
14、1若S1=x2dx，S2=，S3=，则S1，S2，S3的大小关系是（）AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S1【考点】定积分；不等关系与不等式【分析】根据积分公式分别计算S1，S2，S3的值，即可比较大小【解答】解：S1=x2dx=x3|=（2，3），=lnx|=ln2ln1=ln21，=3，则S2S1S3故选：B12已知f（x）=x23，g（x）=mex，若方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，则m的取值范围是（）ABCD（0，2e）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】设f（x）与g（x）的共同切线的切点为（x0，y0），根据导数求出切点，即可求出m的值，结合图象可知m
15、的取值范围【解答】解：设f（x）与g（x）的共同切线的切点为（x0，y0），f（x）=x23，g（x）=mex，f（x）=2x，g（x）=mex，f（x0）=g（x0），f（x0）=g（x0），2x0=，x023=，x0=x023，解得x0=3，或x0=1（舍去）当x0=3，6=me3，即m=，方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，由图象可知，0m，故选：A二填空题：本大题共4个小题，每小题5分13复数z=i+i2+i3+i4的值是0【考点】虚数单位i及其性质【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：复数z=i+i2+i3+i4=i1i+1=0故答案为：014已知随机变量X的分布列如图所
16、示，则E（6X+8）=21.2X123P0.20.40.4【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】由随机变量X的分布列的性质先求出E（X），由此能求出E（6X+8）的值【解答】解：由随机变量X的分布列，得：E（X）=10.2+20.4+30.4=2.2，E（6X+8）=62.2+8=21.2故答案为：21.215只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有18个【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】本题需要分步计数，由题意知1，2，3中必有某一个数字重复使用2次首先确定谁被使用2次，再把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，最
17、后将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，相乘得结果【解答】解：由题意知，本题需要分步计数1，2，3中必有某一个数字重复使用2次第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法故共可组成332=18个不同的四位数故答案为：1816（x2+1）（x2）9=a0+a1（x1）+a2（x1）2+a3（x1）3+a11（x1）11，则a1+a2+a3+a11的值为2【考点】二项式定理的应用【分析】给等式中的x赋值1，求出展开式的常数项a0；给等式中x赋值2求出展开式的各项系数和，两式相减得
18、到要求的值【解答】解：令x=1，得2（1）=a0，令x=2，得（22+1）0=a0+a1+a2+a3+a11，联立得：a1+a2+a3+a11=2故答案为2三解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=lnxbx+c，f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+y+4=0（）求f（x）的解析式；（）求f（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）由求导公式、法则求出f（x），根据题意和导数的几何意义求出b的值，将（1，f（1）代入方程x+y+4=0求出f（1），代入解析式列出方程求出c，即可求出函数f（x
19、）的解析式；（）由（I）求出函数的定义域和f（x），求出f（x）0和f（x）0的解集，即可求出函数f（x）的单调区间【解答】解：（）由题意得，f（x）=b，则f（1）=1b，在点（1，f（1）处的切线方程为x+y+4=0，切线斜率为1，则1b=1，得b=2，将（1，f（1）代入方程x+y+4=0，得：1+f（1）+4=0，解得f（1）=5，f（1）=b+c=5，将b=2代入得c=3，故f（x）=lnx2x3；（）依题意知函数的定义域是（0，+），且f（x）=2，令f（x）0得，0x，令f（x）0得，x，故f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+）18在直角坐标系xOy中，直线l的参数
20、方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=2sin（）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（I）由C的方程可得：，利用极坐标化为直角坐标的公式x=cos，y=sin即可得出（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入C的方程得到关于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出【解答】解：（I）由C的方程可得：，化为（II）把直线l的参数方程（t
21、为参数）代入C的方程得=0，化为（t1t2=40）根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=19某市为了了解“陕西分类招生考试”宣传情况，从A，B，C，D四所中学的学生当中随机抽取50名学生参加问卷调查，已知A，B，C，D四所中学各抽取的学生人数分别为15，20，10，5（）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用表示抽得A中学的学生人数，求的分布列及期望值【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（）利用组合求出
22、从50名学生中随机抽取两名学生的方法数，来自同一所中学的取法数，然后求解概率（）求出来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10推出的可能取值为0，1，2，时的概率，写出分布列然后求解期望【解答】解：（）从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有种，来自同一所中学的取法共有，从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为（）因为50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10依题意得，的可能取值为0，1，2，的分布列为：012p的期望值为20某人摆一个摊位卖小商品，一周内出摊天数x与盈利y（百元），之间的一组数据关系见表：x23456y2.23.85.56.57.0已知=90，
23、=112.3，（）计算，并求出线性回归方程；（）在第（）问条件下，估计该摊主每周7天要是天天出摊，盈利为多少？（参考公式：b=，a=b）【考点】线性回归方程【分析】（）求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出a的值，即可求出回归方程；（）该摊主每周7天要是天天出摊，x=7代入回归直线方程，求出y即可推算盈利的值【解答】解：（） =4， =5b=1.23所以故所求回归直线方程为（）当x=7时，y=1.237+0.08=8.69所以，该摊主每周7天要是天天出摊，估计盈利为8.69（百元）212016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作
24、为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：生二胎不生二胎合计70后30154580后451055合计7525100（）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由参考数据：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.005k2.0722.7063.8415.0246.6357.879（参考公式：，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差【分析】（）由已知得该
25、市70后“生二胎”的概率为，且XB（3，），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望（）求出K2=3.0302.706，从而有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”【解答】解：（）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且XB（3，），P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，其分布列如下：X0123P（每算对一个结果给1分）E（X）=3=2（）假设生二胎与年龄无关，K2=3.0302.706，所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”22已知函数f（x）=ln（1+x）（a0）（）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（）若f（x）0在0，+）上恒成立，求a
26、的取值范围；（）证明：（e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（）问题转化为f（x）min0，根据函数的单调性，通过讨论a的范围求出a的具体范围即可；（）不等式两边取对数，得到ln（1+）0，结合函数的单调性证明即可【解答】解：（），x=1是函数f（x）的一个极值点，f（1）=0即a=2；（）f（x）0在0，+）上恒成立，f（x）min0，当0a1时，f（x）0在0，+）上恒成立，即f（x）在0，+）上为增函数，f（x）min=f（0）=0成立，即0a1，当a1时，令f（x）0，则xa1，令f（x）0，则0xa1，即f（x）在0，a1）上为减函数，在（a1，+）上为增函数，f（x）min=f（a1）0，又f（0）=0f（a1），则矛盾综上，a的取值范围为（0，1（）要证，只需证，两边取自然对数得， ，ln0ln（1+）0，由（）知a=1时，f（x）=ln（1+x）在0，+）单调递增，又0，f（0）=0，f（）=lnf（0）=0，成立2016年8月20日