1、2.2.3两条直线的位置关系学 习 任 务核 心 素 养1掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标(重点)2掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别(重点)3灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系(难点)1通过学习两直线位置关系的方法，培养逻辑推理的核心素养2借助两直线位置关系的应用，培养数学运算的核心素养过山车是一项富有刺激性的娱乐工具实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱子支撑，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你
2、能感受到过山车中的平行和垂直吗？那么两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？知识点1两条直线相交、平行与重合(1)几何方法判断若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则：l1与l2相交k1k2；l1l2k1k2且b1b2；l1与l2重合k1k2且b1b2(2)向量方法判断设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，因为v1(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2(A2，B2)是直线l2的一个法向量l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2A2B1l1与l2平行或重
3、合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2A2B1；l1与l2重合的充要条件是，存在实数使得直线AxByC10与直线AxByC20平行的充要条件是什么？重合呢？提示平行的充要条件是C1C2，重合的充要条件为C1C21思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行()(2)若l1l2，则k1k2()(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交()(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确2
4、已知A(2，0)，B(3，3)，直线lAB，则直线l的斜率为()A3B3CDB因为klkAB3，所以l的斜率为3知识点2两条直线的垂直对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1l2k1k21l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1l2图示设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20因为v1(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2(A2，B2)是直线l2的一个法向量，l1与l2垂直的充要条件是v1与v2垂直，即v1v20，因此A1A2B1B20即l1l2A1A2B1B203直线l1与l2的斜率是一元二次方程2 019x22 020x2
5、 0190的两根，则l1与l2的位置关系为_垂直由题意知一元二次方程2 019x22 020x2 0190的两根x1x21，直线l1，l2的斜率之积k1k21，直线l1l2 类型1两条直线相交、平行、重合的判定【例1】已知两直线l1：xmy60；l2：(m2)x3y2m0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合解直线l1：xmy60，直线l2：(m2)x3y2m0，A11，B1m，C16，A2m2，B23，C22m(1)若l1与l2相交，则A1B2A2B10，即13m(m2)0，即m22m30，即(m3)(m1)0，即m3，且m1故当m3，且m1时，直线l1与l2相交
6、(2)若l1l2，则有即即即m1故当m1时，直线l1与l2平行(3)若l1与l2重合，则有即m3故当m3时，直线l1与l2重合根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论.因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更简便易行.跟进训练1l1：9xya20；l2：ax(a2)y10求当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合解由题意：A19，B11，C1a2，A2a，B2a2，C21(1)若l1与l2相交，则A1B2A2B10，即9(a2)a(1)0，a故当
7、a时，直线l1与l2相交(2)若l1l2，则有即当a时，l1与l2平行(3)若l1与l2重合，则有由(2)知不成立，直线l1与l2不重合综上所述：当a时，两直线相交，当a时，两直线平行，不论a为何值两直线不会重合 类型2两条直线垂直的判定【例2】(1)(对接教材人教B版P90例3)l1经过点A(3，2)，B(3，1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直；(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(1，a2)，若l1l2，求a的值解(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1l2(2)由题意知，l2的斜率k2一定存在
8、，l1的斜率可能不存在当l1的斜率不存在时，3a2，即a5，此时k20，则l1l2，满足题意当l1的斜率k1存在时，a5，由斜率公式，得k1，k2由l1l2，知k1k21，即1，解得a0综上所述，a的值为0或5利用斜率公式来判定两直线垂直的方法提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况跟进训练2分别判断下列两直线是否垂直(1)直线l1的斜率为10，直线l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(2)直线l1经过A(3，4)，B(3，7)，直线l2经过点P(2，4)，Q(2，4)；(3)直线l1的斜率为，直线l2与直线2x3y10平行解(1)直线l1
9、的斜率为k110，直线l2的斜率为k2，k1k2101所以直线l1与l2垂直(2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直(3)直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，k1k21，所以直线l1与l2不垂直 类型3直线平行与垂直的综合应用【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(12t，2t)，R(2t，2)，其中t0试判断四边形OPQR的形状已知ABC的三个顶点坐标A(5，1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断ABC的形状吗？提示如图，AB边所在直线的斜率k
10、AB，BC边所在直线的斜率kBC2由kABkBC1，得ABBC，即ABC90ABC是以点B为直角顶点的直角三角形解由斜率公式得kOPt，kQRt，kOR，kPQ所以kOPkQR，kORkPQ，从而OPQR，ORPQ所以四边形OPQR为平行四边形又kOPkOR1，所以OPOR，故四边形OPQR为矩形将本例中的四个点，改为“A(4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(3，0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状”解由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合，所以ABCD，由kA
11、DkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkAD(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标(2)证明两直线平行时，仅仅有k1k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况跟进训练3若已知直角三角形ABC的顶点分别为A(5，1)，B(1，1)，C(2，m)，求m的值解(1)若A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m7；(2)若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，即1，得m3；(3)若C为直角，则ACBC
12、，所以kACkBC1，即1，得m2综上可知，m7或m3或m21直线xay70与直线(a1)x2y140平行，则a的值是()A1 B2 C1或2 D1或2B由已知，得a(a1)20，解得a2或a1当a1时，两直线重合，a22如图，直线l1的倾斜角130，直线l1l2，则l2的斜率为()A B C DCk1tan 30，又l1l2，k1k21，k23已知过点A(2，m)和B(m，4)的直线与直线2xy10平行，则m的值为()A8B0C2D10A由已知，得2，m84已知直线l的倾斜角为45，直线l2的斜率为km23，若l1l2，则m的值为_2由题意知m23tan 45，解得m25经过点P(2，1)，
13、Q(3，a)的直线与倾斜角为45的直线垂直，则a_6由题意知1，所以a6回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何判断两直线平行？提示在判断两直线是否平行时，先看两直线的斜率是否存在，再进行判断，同时注意不要漏掉两直线重合的情况设两条斜率存在且不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为1，2，则对应关系如下：前提12901290对应关系l1l2斜截式：k1k2；一般式：A1B2A2B10l1l2两直线斜率都不存在前提12901290图示2如何判断两直线垂直？提示对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，且l1l2斜截式：k1k21；一般式：A1A2B1B20l1与l2中的一条直线斜率不存在，另一
14、条直线斜率为零，则l1l2图示3如何利用两直线的位置关系求直线方程？提示(1)平行直线系方程斜率为k的直线系方程为ykxb(k为常数，b为参数)；与定直线AxByC0(A2B20)平行的直线系方程为AxBy0(为参数，C)；过点P(x0，y0)，且平行于直线AxByC0(A2B20)的直线方程为A(xx0)B(yy0)0(Ax0By0C0)(2)垂直直线系方程与直线ykxb(k0)垂直的直线系方程为yxm(m为参数)；与定直线AxByC0(A2B20)垂直的直线系方程为BxAy0(为参数)；过点P(x0，y0)，且垂直于直线AxByC0(A2B20)的直线方程为B(xx0)A(yy0)0(3)过两条直线交点(定点)的直线系方程设两条不平行的直线的方程分别为l1：A1xB1yC10(A1，B1不同时为0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2不同时为0)，我们将m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0(其中m，n为参数，且m2n20)称为经过直线l1与l2交点(定点)的直线系方程当m1，n0时，此方程即直线l1的方程；当m0，n1时，此方程即直线l2的方程过两条直线交点(定点)的直线系方程又可以表示为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，此时该直线系不含直线l2