1、2.2不等式2.2.1不等式及其性质第1课时不等式及其性质学 习 任 务核 心 素 养1会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系(一般) 2会用比较法比较两实数的大小(重点)3掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.1 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养.清丽、优美的芭蕾舞剧睡美人序曲奏响了，一名女演员双手抚摸着舞裙，眼里闪烁着倔强和自信的目光只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.570.6
2、之间设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由变成了，这个比值非常接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活中的应用，不等式还有哪些重要的性质呢？知识点一不等关系与不等式1不等式的定义我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式2比较两个实数(代数式)的大小作差法的理论依据：ab0ab；ab0ab；ab0ab.1(1)已知ta4b，sab24，则t和s的大小关系是()AtsBtsCtsDts(2)设a，b0，P，Q，则P与Q的大小关系是()APQBPQCPQDPQ(1)D(2)C(1)stab24(a4b)b24
3、b4(b2)20，ts.(2)P2()2ab2，Q2()2ab.a，b0，P2Q2.PQ.知识点二不等式的性质1不等式的性质(1)性质1(可加性)：abacbc.(2)性质2(可乘性)：acbc.(3)性质3(可乘性)：acbc.(4)性质4(传递法)：ab，bcac.(5)性质5(对称性)：abba.2不等式性质的推论(1)推论1(移项法则)：abcacb.(2)推论2(同向可加性)：acbd.(3)推论3(同向同正可乘性)：acbd.(4)推论4(正数乘方性)：ab0anbn(nN，n1)(5)推论5(正数开方性)：ab0.利用不等式性质应注意哪些问题？提示在使用不等式时，一定要弄清不等式
4、(组)成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符号”等都需要注意2.已知ab，可以推出()ABac2bc2CD(ac)2(bc)2Bc20，ab，ac2bc2.3.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ab，cd，则acbd.()(2)若ab，则.()(3)若ab0，cd0，则.()(4)已知ab，ef，c0，则facebc.()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)因为cd，所以cd，又ab.所以acbd.(2)因为ab，若a0，b0，则，故错误(3)因为cd0，所以0，又因为ab0，所以.(4)因为ab，c
5、0，所以acbc，故acbc，又因为ef，即fe，所以facebc. 类型1比较两数(式)的大小【例1】(对接教材P60例1)已知x1，比较3x3与3x2x1的大小解3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(3x21)(x1)x1，x10，而3x210，(3x21)(x1)0，3x33x2x1把本例中“x1”改为“xR”，再比较3x3与3x2x1的大小解3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)(3x21)(x1)3x210，当x1时，x10，3x33x2x1；当x1时，x10，3x33x2x1；当x1时，x10，3x33x2x1作差法比较两个实数(代数式)大小的基
6、本步骤 类型2利用不等式性质判断命题真假【例2】对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是()A若ab，则ac2bc2B若ab0，则C若ab0，则D若ab，则a0，b0思路点拨本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断D法一：c20，c0时，有ac2bc2，故A为假命题；由ab0，有ab0，故B为假命题；ab0ab00，故C为假命题；ab0.ab，a0且b0，故D为真命题法二：特殊值排除法取c0，则ac2bc2，故A错；取a2，b1，则，1有，故B错；取a2，b1，则，2，有，故C错故选D运用不等式的性质判断命题真假的技巧(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条
7、件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算1下列命题正确的是()A若a2b2，则abB若，则abC若acbc，则abD若，则abDA错，例如(3)222；B错，例如；C错，例如当c2，a3，b2时，有acbc，但ab.故选D2若a，bR，则使ab与同时成立的条件是_ab0或0ab由得0，即0，又ab，故ba0，由得所以ab0或0ab. 类型3不等式性质的应用1由6a8，4b2，两边分别相减得2ab6，你认为正确吗？提示不正确因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要
8、充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质2你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？2ab4，4ba2.又2ab2，0a3，3b0，3ab3.这怎么与2ab2矛盾了呢？提示利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形本题中将2ab4与2ab2两边相加得0a3，又将4ba2与2ab2两边相加得出3b0，又将该式与0a3两边相加得出3ab3，多次使用了这种转化，导致了ab范围的扩大【例3】已知1a4,2b8，试求ab与的取值范围思路点拨依据不等式的性质，找到b与的范围，进而求出ab与的取值范围解因为1a4,2b8，所以8b2
9、，所以18ab42，即7ab2.又因为，所以2，即2.求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.3已知，求，的取值范围解，两式相加，得.又，又知，0.故0.1设M(a1)(a3)，N2a(a2)，则()AMNBMNCMNDMNCNM2a(a2)(a1)(a3)2a24a(a22a3)a22a3(a1)220，即MN，故选C2如果ab0，cd0，则下列不等式中不正确的是()AadbcBCadbcDacbdC由已知及不等式的性质可得acbd，即adbc，所以A正确；由cd0，得0，又ab0，所以，即B正确；显
10、然D正确，因此不正确的选项是C3若11，则下列各式中恒成立的是()A20B21C10 D11A由11，11，得1122，但，故知20.故选A4(多选题)已知a，b，c为非零实数，且ab0，则下列结论正确的有()AacbcBabCa2b2DABD因为ab0，所以ab.根据不等式的性质可知A，B正确；因为a，b的符号不确定，所以C不正确；0.可得，所以D正确5已知60x84,28y33，则xy的取值范围是_，的取值范围是_(27,56)由28y33得33y28，则6033xy8428，即27xy56，则，即3.回顾本节知识，自我完成下列问题：1作差比较法的四个步骤是什么？提示(1)作差：对要比较大
11、小的两个式子作差(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方、有理化等方法进行变形(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号(4)作出结论上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键2利用不等式的性质判断正误有哪2种方法？提示(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性实际问题中的不等关系糖水跟煲汤一样，具有滋补养生的功效可以作为糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具
12、有清凉性，有的具有燥热性根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了提示(1)设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，即证明不等式(其中a，b，m为正实数，且ba)成立不妨用作差比较法，证明如下：.a，b，m为正实数，且ab，bm0，ba0，0，即.(2)设原糖水b克，含糖a克，
13、糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且，求证：(其中ba0，dc0)证明：，且ba0，dc0，adbc，即bcad0，0，即，0，即.(3)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水，求证：(其中ba0，m0)证明：0，.结论(1)如果一个分式(ba0)的分子分母同时增大相同的值，则该分式的值变大(2)两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间(3)一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比例越大，采光条件越好，问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？解设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为n m2，显然，a，b，n均为正实数，且ab，由题设及“糖水浓度不等式”可得：.故住宅的采光条件变好了