1、第2讲空间几何体的表面积与体积【2014年高考会这样考】1以三视图为载体，考查空间几何体的表面积与体积2利用展开图考查空间几何体的侧面积与表面积 考点梳理1柱体、锥体、台体的侧面积和表面积(1)旋转体的侧面展开图的形状名称侧面展开图形状侧面展开图圆柱矩形圆锥扇形圆台扇环(2)多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和(3)旋转体的侧面积和表面积若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧2rl，S表2r(rl)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧rl，S表r(rl)若圆台的上下底面半径分别为r、r，则S侧(rr)l，S表
2、(r2rlrlr2)若球的半径为R，则它的表面积S4R2.2几何体的体积公式(1)圆柱的体积公式Vr2h.所有棱柱和圆柱的体积公式可以统一为V柱Sh，其中S为底面积，h为高(2)圆锥的体积公式Vr2h，棱锥的体积公式VSh.圆锥和棱锥的体积公式可以统一为V锥Sh，其中S为底面积，h为高(3)圆台的体积公式为V(r2rrr2)h，棱台的体积公式为V(SS)h，圆台和棱台的体积公式可以统一为V台(SS)h，其中S、S分别为上、下底的底面积，h为高(4)球的体积公式为VR3.【助学微博】两点提醒(1)关于公式要注意几何体的表面积公式和体积公式中各个数据的准确性，不能用错公式(2)关于组合体转化对于生
3、产生活中遇到的物体，可以转化为由简单的几何体组合而成，它们的表面积与体积可以转化为这些简单的几何体的表面积的和与体积的和两个关注点与球有关问题的关注点(1)“切”“接”问题一般要过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系(2)特殊图形可以用补图的方法解答考点自测1圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A4S B2S CS D.S解析设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则r ，又h2r2，S圆柱侧(2)24S.答案A2(2012湖北)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B3C. D6解析由三视图
4、可知该几何体的体积V1221223.答案B3(2012安徽)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_解析通过三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱所以该几何体的表面积是2(25)42445444592.答案924(2012上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_解析因为半圆的面积为2，所以半圆的半径为2，底面圆的周长为2，所以圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，所以圆锥的高为，体积为12.答案5已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_解析依题意棱锥OABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径，如图连接A
5、C，取AC中点O，连接OO.易知AC4，故AO2.在RtOAO中，OA4，从而OO2.所以VOABCD2628.答案8 考向一几何体的表面积【例1】(2012北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A286 B306C5812 D6012审题视点 根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积解析由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE平面BCD，CDBD，且CD4，BD5，BE2，ED3，AE4.AD5.又CDBD，CDAE，则CD平面ABD，故CDAD，所以AC且SACD10.在RtABE中，AE4，BE2，故AB2.在RtBCD中，BD5，C
6、D4，故SBCD10，且BC.在ABD中，AE4，BD5，故SABD10.在ABC中，AB2，BCAC，则AB边上的高h6，故SABC266.因此，该三棱锥的表面积为S306.答案B (1)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解(2)多面积的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理【训练1】 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是()A372 B360 C292 D280解析由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体下面长方体的表面积为810
7、22821022232，上面长方体的表面积为862282262152，又长方体表面积重叠一部分，几何体的表面积为232152262360.答案B 考向二几何体的体积【例2】(2012山东)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1，B1C上的一点，则三棱锥D1EDF的体积为_审题视点 利用等体积转化法求解解析因为E点在线段AA1上，所以SDED111，又因为F点在线段B1C上，所以点F到平面DED1的距离为1，即h1，所以VD1EDFVFDED1SDED1h1.答案 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；(2)若所给定
8、的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解【训练2】 如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()A4 B4 C2 D2解析由三视图可知此几何体为四棱锥，高为3.所以VSh2232.答案C 考向三与球有关的组合体【例3】某几何体的三视图如下图所示(图中长度单位：cm)，其中正视图与侧视图相同，则该几何体的体积为_ cm3.审题视点 由正视图和侧视图知几何体分三部分：柱、台、球，再由俯视图确定几何体由圆柱、圆台、半球组成解析由
9、三视图可知，该几何体是由圆柱、圆台、半球组合而成，易知圆柱的底面半径为1，高为2，圆台的上、下底半径分别为1、4，高为4，半球的半径为4.V圆柱1222，V圆台(124214)428，V半球43.几何体的体积为V228(cm3)答案 (1)已知与球有关的组合体的三视图，要将其还原为几何体，对组合体的表面积和体积可以分割计算(2)处理与几何体外接球相关的问题时，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几何体的特殊点间的关系解决与棱柱有关的问题时需注意运用棱柱的体对角线即为外接球直径这一知识【训练3】 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的
10、，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_解析如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r，由题意得r24R2.rR，OO1R.体积较小的圆锥的高AO1RRR，体积较大的圆锥的高BO1RRR.故这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.答案 方法优化10巧妙求解空间几何体的表面积和体积 【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，主要考查已知三视图，还原几何体，求几何体的表面积和体积题型为选择题或填空题，题目难度中等【真题探究】 (2012广东)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A12 B45 C57 D81教你审题 第1步 还原几何体，由三视图可知，该几何体是一个圆柱
11、和圆锥的组合体第2步 利用基本公式求解优美解法 由三视图可知，该几何体是由底面直径为6，高为5的圆柱与底面直径为6，母线长为5的圆锥组成的组合体，因此，体积为V3253257.答案 C反思 (1)对组合体的三视图还原为几何体的问题，要从接触面突破；(2)对组合体的表面积、体积可以分割计算；(3)在三视图向几何体的转化过程中，有关数据要正确对应【试一试】 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_，_.解析由三视图可知，该几何体的下部是一底边长为2的正方形，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长所以长方体的表面积为S122242440，长方体的体积为V12241
12、6，球的表面积和体积分别为S24124，V213，故该几何体的表面积为SS1S2404，该几何体的体积为VV1V216.答案40416 A级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分)1(2013东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为()A2 B1C22 D4解析依题意得，该几何体的侧视图的面积等于2224.答案D2(2011湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ()A.12B.18C942D3618解析该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为232318.答案
13、B3一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为 ()A48 B64 C80 D120解析据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为侧面PAB的边AB上的高，且PE5.此几何体的侧面积是S4SPAB48580(cm2)答案C4(2012新课标全国)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A. B. C. D.解析在直角三角形ASC中，AC1，SAC90，SC2，SA；同理SB.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因SACSBC，故BDSC，故SC平面ABD，
14、且平面ABD为等腰三角形，因ASC30，故ADSA，则ABD的面积为1 ，则三棱锥的体积为2.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC，则球O的表面积等于_解析将三棱锥SABC补形成以SA、AB、BC为棱的长方体，其对角线SC为球O的直径，所以2RSC2，R1，表面积为4R24.答案46(2012天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_ m3.解析由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是6,3,1的长方体，下面是两个半径均为的球，其体积为63123189(m3)答案189三、
15、解答题(共25分)7(12分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积解(1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体由PA1PD1，A1D1AD2，可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S522222()2224(cm2)，体积V23()2210 (cm3)8(13分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，如图所示，求CPPA1的最小值解PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将
16、其铺平后转化为平面上的问题解决铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示计算A1BAB1，BC12，又A1C16，故A1BC1是A1C1B90的直角三角形CPPA1A1C.在AC1C中，由余弦定理，得A1C5，故(CPPA1)min5.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2012哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为 ()A.cm2 B.cm2C.cm2 D.cm2解析该几何体的上下为长方体，中间为圆柱S表面积S下长方体S上长方体S圆柱侧2S圆柱底244442233431212294.答案C2(2013福州模拟)如图
17、所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为 ()A. B.C. D.解析三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)3(2013江西盟校二联)已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为_解析借助常见的正方体模型解决由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成计算得其表面积为124.答案1244(2012长春二模)如图所示
18、，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，则以正方体ABCDA1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为_解析设O为正方体外接球的球心，则O也是正方体的中心，O到平面AB1D1的距离是体对角线长的，即为.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为3，由勾股定理可知，截面圆的半径为2，圆锥底面面积为S1(2)224，圆锥的母线即为球的半径3，圆锥的侧面积为S22318.因此圆锥的全面积为SS2S11824(1824).答案(1824)三、解答题(共25分)5(12分)(2013杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2
19、，AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积解由已知得：CE2，DE2，CB5，S表面S圆台侧S圆台下底S圆锥侧(25)52522(604)，VV圆台V圆锥(2252)4222.6(13分)如图(a)，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图(b)所示(1)求证：BC平面ACD；(2)求几何体DABC的体积(1)证明在图中，可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACDBC22，由等体积性可知，几何体DABC的体积为.版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()