1、天津一中2013-2014学年高三年级四月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分）1. 设集合则A等于（ ） A 1,2,5 Bl, 2，4, 5 C1，4, 5D1，2，42设动点满足，则的最大值是（ ）A. 50 B. 60 C. 70 D. 1003. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）A3 B4 C5 D64. 下列命题中正确的是( )A.命题“，”的否定是“” B.命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件C.若“，则”的否命题为真D.若实数，则满足的概率为. 5. 已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于( )ABCD6. 某几何体的三视图如下
2、图所示，它的体积为( ) A. B. C. D. 7. 已知函数在上是增函数，若，则的取值范围是（ ） AB CD 8. 已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABC-4，0D二、填空题（每小题5分，共30分）9. 是虚数单位，复数的值是_10. 在锐角中，角、所对的边分别为、，若，且，则的面积为 _11. 直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知,则_12. 如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 _ 13. 如图，ABC是O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EFAB，若AB=2，则DE的长是_14. 若实数的最大值是 _ 三、解答题：（
3、15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）15 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.16已知函数，直线是函数的图像的任意两条对称轴，且的最小值为.（I）求的值； （II）求函数的单调增区间；（III）若，求的值.1
4、7. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F （1）证明PA/平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小18已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且等差数列.（）求数列的通项公式；（）若，设，求数列的前n项和.19已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 （）求椭圆的方程；（）已知动直线与椭圆相交于、两点 若线段中点的横坐标为，求斜率的值； 若点，求证：为定值20设函数,.()讨论函数的单调性()如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数()如果对任意的
5、,都有成立,求实数的取值范围.四月考答案1设集合则A等于（ ） A 1,2,5 Bl, 2，4, 5 C1，4, 5D1，2，4【答案】B【解析】当k=0时，x=1；当k=1时，x=2；当k=5时，x=4；当k=8时，x=5，故选B.2设动点满足，则的最大值是（ ）A. 50 B. 60 C. 70 D. 100 【答案】D3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）A3 B4 C5 D6【答案】B4下列命题中正确的是( )A.命题“，”的否定是“” B.命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件C.若“，则”的否命题为真D.若实数，则满足的概率为. 【答案】C5. 已知双曲线的两条
6、渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于( )ABCD【答案】A【解析】圆的标准方程为，所以圆心坐标为,半径，双曲线的渐近线为，不妨取，即，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，所以，即，所以，选A.6某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】C7已知函数在上是增函数，若，则的取值范围是 AB CD 【答案】B8已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABC-4，0D【答案】B9是虚数单位，复数的值是_【答案】 10在锐角中，角、所对的边分别为、，若，且，则的面积为 【答案】11. 直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知
7、,则_【答案】 12如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 【答案】13如图，ABC是O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EFAB，若AB=2，则DE的长是_.【解析】由图知DEDF=BDCD=1，同理EGFG=1.又DG=AB=1，DE(1+FG)=1，FG(1+DE)=1，答案:14若实数的最大值是 【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题.【解析】=，4，又=，=，=4，即4，即0，=，的最大值为.【答案】15某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1
8、组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【答案】解:(1) 第3组的人数为0.3100=30, 第4组的人数为0.2100=20, 第5组的人数为0.1100=10. 3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:6=3; 第4组:6=2; 第5组:6=1.所以应从
9、第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. 6分(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. 8分其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A
10、3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种, 10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为13分16已知函数，直线是函数的图像的任意两条对称轴，且的最小值为.（I）求的值； （II）求函数的单调增区间；（III）若，求的值.【答案】17 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F （1）证明PA/平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小 （1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点 在中，EO是中位线，PA / E
11、O 而平面EDB且平面EDB， 所以，PA / 平面EDB（2）证明：PD底面ABCD且底面ABCD，PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， 同样由PD底面ABCD，得PDBC底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC而平面PDC， 由和推得平面PBC而平面PBC，又且，所以PB平面EFD（3）解：由（2）知，故是二面角CPBD的平面角由（2）知，设正方形ABCD的边长为a，则， 在中，在中，所以，二面角CPBD的大小为18已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且等差数列.（）求数列的通项公式；（）若，设，求数列的前n项和.【答案】解（1）由题意知 1分当时，当时
12、，两式相减得3分整理得： 4分数列是以为首项，2为公比的等比数列.5分（2），6分 -得 9分 .11分13分19. 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为（）求椭圆的方程；（）已知动直线与椭圆相交于、两点 若线段中点的横坐标为，求斜率的值；若点，求证：为定值【答案】解：（）因为满足， ，2分。解得，则椭圆方程为 4分（）（1）将代入中得6分 7分因为中点的横坐标为，所以，解得9分（2）由（1）知，所以 11分12分20设函数,.()讨论函数的单调性()如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数()如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.【解】(), ,函数在上单调递增 ,函数的单调递增区间为 ,函数的单调递减区间为 ()存在,使得成立 等价于:, 考察, , 递减极(最)小值递增 由上表可知:, , 所以满足条件的最大整数; ()当时,恒成立 等价于恒成立, 记,所以 , . 记, 即函数在区间上递增, 记, 即函数在区间上递减, 取到极大值也是最大值 所以 另解, 由于, 所以在上递减, 当时,时, 即函数在区间上递增, 在区间上递减, 所以,所以