1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第五节 解斜三角形Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.理解掌握正弦定理、余弦定理，并会利用它们解三角形2会利用正弦定理、余弦定理解三角形，会判断三角形的形状，会求三角形的面积及有关最值问题考试热点1.利用正弦定理、余弦定理求角、求角的函数值、求边2解三角形、判断三角形的形状、求三角形的面积等综合问题.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1正弦定理、余弦定理
2、设ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，R是ABC的外接圆半径(1)正弦定理：(2)正弦定理的变式 a，b，c.sinA，sinB，sinC.abc.2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinCCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (3)余弦定理1 a2，b2，c2.(4)余弦定理的变式 cosA；cosB；cosCb2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosCCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2解斜三角形的类型(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角
3、，进而求得其他边、角；(3)已知三边，求三个角；(4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 A为锐角A为钝角或直角关系式absinAbsinAab解的个数一解一解一解两解Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1在ABC中，a8，B60，C75，则b的值为()答案：CCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若cB12
4、0，则a等于()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：解法 1：由正弦定理得sinCcsinBb 2sin120612，又 B120，故 C 为锐角所以 C30，A180BC30，所以 ac 2.解法 2：由余弦定理得 b2a2c22accosB，即(6)2a2(2)22a 2cos120，a2 2a40，(a2 2)(a 2)0，a 2或 a2 2(舍去)答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3在三角形ABC中，A120，AB5，BC7，则的值为()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：由已知条件可得 AB
5、sinC BCsinA，即 sinCABBCsinA57sin1205 314，cosC 1sin2C15 31421114，sinBsinCsin(180120C)sinCsin(60C)sinC 3cosC2sinC 12 32 115 31235，故应选 D.答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知a、b、c成等比数列，ac3，cosB，则等于()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：由 ac3 可得，(ac)2a22acc2a22b2c29，又 cosBa2c2b22ac92b
6、2b22b234，可解得 b22，所以AB BC cacos(B)b2cosB23432，故选 B.答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 三角形中的边角关系 例1 在ABC中，已知a2，b，C15，求角A.分析 先用余弦定理求出c，然后利用正弦定理求出sinA，进而求出A.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 由余弦定理得：c2a2b22abcosC22(2 2
7、)2222 2cos15488 2 6 2484 3.c 84 3(6 2)2 6 2.又由正弦定理得：sinAasinCc2sin156 22 6 246 2 12.ba，BA.又 0A180，A 必为锐角，A30.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题易误点为由sinA求A时解的情况的判定，应结合图形，或“大边对大角”作出判断Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知在ABC中，A45，AB，BC2，求其他边和角 B180604575或B1801204515.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 由 AC BC
8、sinAsinB，得 AC 31 或 AC 31.AC 31，C60，B75，或 AC 31，C120，B15.解法 2：设 ACb，由余弦定理得b2(6)22 6bcos4522，b22 3b20，解得 b 31.又(6)2b22222bcosC，解得 cosC12，C60或C120，B75或B15.AC 31，C60，B75或 AC 31，C120，B15.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 判断三角形的形状 例2 在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状 分析 利用正、余
9、弦定理进行边角互比，转化为边边关系或角角关系Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 解法1：由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，得a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)2a2cosAsinB2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA，即sin2AsinAsinBsin2BsinAsinB.0A，0B0；(2)m2mpp20；(3)m2mpp20.B 一定为锐角cosAAB2AC2BC22ABACm2m2n2m22mpp22ABACm2mpp2ABAC.Copyright 20
10、04-2009 版权所有 盗版必究(1)当 m2mpp20，即 0pm 512时，A 为锐角，此时ABC 为锐角三角形(2)当 m2mpp20，即 pm 512时，A 为直角此时ABC 为直角三角形(3)当 m2mpp20，即pm(512，1)时，A 为钝角，此时ABC 为钝角三角形Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 正、余弦定理的综合运用 例3(2009湖北高考)在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且(1)确定角C的大小；分析(1)只要变换关系式a2csinA就可以求出sinC，根据sinC的值确定角C的大小；(2)根据第(1)问的结果，利用余
11、弦定理可以得到一个关于a、b的方程组，解这个方程组就可以求出a、b的值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)由 3a2csinA 及正弦定理得，ac2sinA3 sinAsinC.sinA0，sinC 32.ABC 是锐角三角形，C3.(2)解法 1：c 7，C3，由面积公式得12absin33 32，即 ab6.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 由余弦定理得a2b22abcos 7，即a2b2ab7.由变形得(ab)23ab7.将代入得(ab)225，故ab5.解法2：前同解法1，联立、得 消去b并整理得a413a2360，解得a24或
12、a29.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题的新颖之处是考查方程思想和整体思想第(1)问实际上是为第(2)问服务的，在解决了第(1)问后，第(2)问中给出的两个条件其目的是让考生列出关于a，b的方程组，而结论求ab的值，既可以求出a、b后解决，也可以整体解决考生容易忽视已知条件中的ABC为锐角三角形，得出角C有两个解，导致解题复杂化和解题错误所以在解题中要仔细审题，把明显的、隐含的已知条件弄清楚，防止出现上面所说的情况Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2009浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(1
13、)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)因为 cosA22 55，所以 cosA2cos2A2135，sinA45.又由ABAC 3，得 bccosA3，所以 bc5.因此 SABC12bcsinA2.(2)由(1)知，bc5.又 bc6，所以 b5，c1 或 b1，c5.由余弦定理，得 a2b2c22bccosA20，所以 a2 5.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 正、余弦定理的实际应用 例4(2009宁夏、海南高考)为了测量两山顶 M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量A，B，M
14、，N在同一个铅垂平面内(如图1所示)飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 图1 图2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 方案一：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角 1，1，B 点到 M，N 的俯角 2，2；A，B 间的距离 d(如图 2 所示)第一步：计算 AM.由正弦定理得 AMdsin2sin(12)；第二步：计算 AN.由正弦定理得 ANdsin2sin(21)；第三步：计算 MN
15、.由余弦定理得MN AM2AN22AMANcos(11).Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 方案二：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角 1，1；B 点到 M，N 点的俯角 2，2；A，B 间的距离 d(如图 2 所示)第 一 步：计 算 BM.由 正 弦 定 理 得 BM dsin1sin(12)；第二步：计算 BN.由正弦定理得 BNdsin1sin(21)；第三步：计算 MN.由余弦定理得MN BM2BN22BMBNcos(22).Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题并没有直接给出测量数据让考生直接计算，而是要求考生
16、亲临实际问题的环境里进行具体操作，找到解决问题的方案，并设计出计算步骤，可以说本题是一道真正意义上的应用题Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2009辽宁高考)如图3所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，图3Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：在ACD 中，DAC30，ADC60D
17、AC30，所以 CDAC0.1.又BCD180606060，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BDBA.在ABC 中，ABsinBCAACsinABC，即 ABACsin60sin15 3 2 620，因此，BD3 2 6200.33 km.故 B、D 的距离约为 0.33 km.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1解三角形时的常用关系式(1)三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(2)三角形中大边对大角，小边对小角；(3)正弦定理(其中R是ABC外接圆的半径)；(4)勾股定理c2a2b2(其中c为直角三角形的斜边长)；Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(5)在ABC 中，ABC，ABC，AB2C2.sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，tan(AB)tanC.sinAB2cosC2，cosAB2sinC2.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2三角形常用面积公式(1)S12aha(ha 表示 a 边上的高)(2)S12absinC12acsinB12bcsinAabc4R.(3)S12r(abc)(r 为内切圆半径)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究