1、2.2直线及其方程2.2.1直线的倾斜角与斜率学 习 任 务核 心 素 养1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角与斜率的对应关系(重点)2理解直线斜率的几何意义，掌握过两点的直线的斜率公式(重点)3掌握直线的倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用(难点)4掌握直线的方向向量和法向量(重点)1通过直线的倾斜角与斜率的概念的学习，培养数学抽象的核心素养2借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种
2、“倾斜程度”的不同呢？知识点1直线的倾斜角(1)倾斜角的定义一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为，则称为这条直线的倾斜角(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0(3)倾斜角的取值范围为01801如图所示，直线l的倾斜角为()A30B60C120D以上都不对C根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为3090120知识点2直线的倾斜角与斜率一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为，则：(1)当y1y2时(此时必有x1x2)，0(2)当x1x2时(此
3、时必有y1y2)，90(3)当x1x2且y1y2时，tan 1当x1x2且y1y2时，(3)式中的式子成立吗？提示成立(4)一般地，如果直线l的倾斜角为，当90时，称ktan_为直线l的斜率，当90时，称直线l的斜率不存在(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1x2时，直线l的斜率为k当x1x2时，直线l的斜率不存在2运用(5)中公式计算直线AB的斜率时，需要考虑A，B的顺序吗？提示kABkBA，所以直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关3直线的斜率与倾斜角是一一对应的吗？提示不是，当倾斜角为90时，直线的斜率不存在2思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)倾
4、斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应()(3)一个倾斜角不能确定一条直线()(4)斜率公式与两点的顺序无关()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度(2)倾斜角不是90的直线有且只有一个斜率和它对应(3)确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角(4)斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换知识点3直线的方向向量(1)一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作al(2)如果a为直线l的一个方向向
5、量，那么对于任意的实数0，向量a都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则(x2x1，y2y1)是直线l的一个方向向量4设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45，你能写出该直线的一个方向向量吗？提示(1，1)(4)一般地，如果已知a(u，v)是直线l的一个方向向量，则：当u0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90当u0时，直线l的斜率存在，且(1，k)与a(u，v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1vku，从而k，倾斜角满足tan 3直线l经过点A(2，1)和B(5，2)，则
6、直线l的一个方向向量为_(7，3)(52，21)(7，3)知识点4直线的法向量一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作vl5如果a(1，2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？提示(2，1)4若直线的法向量a(4，2)，则直线的方向向量不可能是()A(2，4)B(1，2)C(3，6)D(1，2)A因为4(2)24160，所以(2，4)不可能是直线的方向向量；易知B，C，D都可以是直线的方向向量 类型1直线的倾斜角【例1】设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(
7、)A45B135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾斜角为135D根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0135时，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135故选D求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90注意直线倾斜角的取值范围是0180跟进训练1已知直线l1的倾斜角为115，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为
8、120，如图所示，求直线l2的倾斜角解l1与l2向上的方向之间所成的角为120，l2与x轴交于点B，倾斜角ABx12015135 类型2直线的斜率【例2】(对接教材人教B版P73例1)如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(2，1)，Q2(4，2)，Q3(3，2)(1)试计算直线l1，l2，l3的斜率；(2)若还存点Q4(a，3)，试求直线PQ4的斜率解(1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在设它们的斜率分别为k1，k2，k3则由斜率公式得：k1，k24，k30(2)当a3时，直线PQ4与x轴垂直，此时其斜率不存在当a3时，其斜率k1求斜率
9、时要注意斜率公式的适用范围，若给出直线上两个点的坐标，首先要观察横坐标是否相同，若相同，则斜率不存在；若不相同，则可使用斜率公式若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”2由例题中图可以看出：(1)当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；(2)当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；(3)当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合跟进训练2已知坐标平面内三点A(1，1)，B(1，1)，C(2，1)(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围解(1)由
10、斜率公式得kAB0，kBCkAC倾斜角的取值范围是0180又tan 00，AB的倾斜角为0tan 60，BC的倾斜角为60tan 30，AC的倾斜角为30(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为 类型3斜率公式的应用【例3】已知直线l过点M(m1，m1)，N(2m，1)(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90？1斜率公式k中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？提示斜率公式中分子与分母的顺序不可互
11、换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k2任意一条直线都有倾斜角吗？提示是的3任意一条直线都有斜率吗？提示不是与x轴垂直的直线不存在斜率，即倾斜角为90的直线不存在斜率解(1)kMN1，解得m(2)l的倾斜角为90，即l平行于y轴，所以m12m，得m11本例条件不变，试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围解由题意知解得1m22若将本例中的“N(2m，1)”改为“N(3m，2m)”，其他条件不变，结果如何？解(1)由题意知1，解得m2(2)由题意知m13m，得m直线的斜率k与倾斜角之间的关系00909090180k0k0不存在k0跟进训练3已知三点A(a，2)，B(
12、3，7)，C(2，9a)在同一条直线上，则实数a的值为_2或A，B，C三点共线，kABkBC，即，a2或a 类型4求直线的方向向量或法向量【例4】已知直线l经过点A(1，2)，B(4，5)，求直线l的一个方向向量和法向量，并确定直线l的斜率与倾斜角解(41，52)(3，3)是直线l的一个方向向量由法向量与方向向量垂直，法向量可以为(1，1)因此直线的斜率k1，直线的倾斜角满足tan 1，从而可知45求一条直线的方向向量和法向量的方法(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为(x2x1，y2y1)，当直线l的斜率存在时，方向向量可取为(1，k)，此时，
13、可用斜率表示方向向量，当直线l的斜率不存在时，其方向向量可取为(0，1)(2)若直线l的方向向量为(1，k)，则(k，1)或(k，1)为直线l的两个法向量，直线的任意两个法向量可以同向，也可以反向(3)直线的方向向量和法向量不唯一跟进训练4已知直线l的斜率为10，则直线l的一个法向量的坐标为()A(10，1)B(5，2)C(10，2)D(5，2)A由题意知，直线l的一个方向向量为(1，10)，所以直线l的法向量可以是(10，1)或(10，1)故选A1若已知直线l的一个方向向量为a(2，3)，则直线l的斜率为()ABC3DA由直线l的方向向量a(2，3)知l的斜率k2斜率不存在的直线一定是()A
14、过原点的直线B垂直于x轴的直线C垂直于y轴的直线D垂直于坐标轴的直线B只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90，斜率不存在3若过两点M(3，y)，N(0，)的直线的倾斜角为150，则y的值为()AB0CD3B由斜率公式知tan 150，y04已知直线l的倾斜角为，且0135，则直线l的斜率的取值范围是_(，1)0，)设直线的倾斜角为，斜率为k，当090时，ktan 0，当90时无斜率，当90135时，ktan 1，故直线l的斜率k的取值范围是(，1)0，)5已知直线l的斜率k1，则其倾斜角的取值范围为_0，90)135，180)当1k0时，1tan 0，又0180，135180；当k0时，tan 0，又0180，090综上可知，直线l的倾斜角的取值范围是|090或135180回顾本节知识，自我完成以下问题：1直线的斜率与倾斜角有何区别与联系？提示(1)直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度(2)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为直角的直线不存在斜率(3)不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是直角时，倾斜角的正切值就是斜率，此时斜率和倾斜角可以相互转化2如何用斜率公式解决三点共线问题？提示