1、1.2.5空间中的距离学 习 任 务核 心 素 养1掌握向量长度计算公式(重点)2会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离(重点、难点)通过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养立交桥是伴随高速公路应运而生的城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥从此，城市交通开始从平地走向立体问题：在设计过程中工程师需要计算出上、下纵横高速公路
2、之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师如何计算出来？知识点1空间中两点之间的距离空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长1在空间中怎样求两点之间的距离？提示利用向量法转化为求向量的模1设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于()ABCDCM点坐标为，|MC|知识点2点到直线的距离给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离2如何用向量法求点到直线的距离？提示如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点作AAl，垂足为A，则
3、点A到直线l的距离d等于线段AA的长度，而向量在s上的投影的大小|s0|等于线段PA的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离ds0是s同方向的单位向量点A到直线l的距离公式也可以写成d2已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为s(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离d为()ABCDA(2，0，1)，由点到直线的距离公式得d知识点3点到平面的距离(1)给定空间中一个平面及外一点A，过A可以作平面的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面的距离点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度(2)一般地，若A是平面外一点，B是平面内一点，n是平面的一个法向量，则点A到平面的距离为d若
4、点A是平面内一点，则约定A到平面的距离为03已知平面的一个法向量n(1，0，1)，点A(1，1，0)在内，则平面外点P(1，1，1)到平面的距离为_(0，0，1)，n(1，0，1)，d知识点4相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离如果直线l与平面平行，n是平面的一个法向量，A，B分别是l上和内的点，则直线l与平面之间的距离为d(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离如果平面与平面平行，n是平面的一个法向量，A和B分别是平面和平面内的点，则平面和
5、平面之间的距离为d(3)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段3线面距、面面距与点面距有什么关系？提示4如图，在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则AD到平面PBC的距离为_由已知，得AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，(2，0，2)，(0，2，0)设平面PBC的法向量为n(a，b，c)，则即可取n(1
6、，0，1)又(2，0，0)，AD平面PBC，所求距离为 类型1空间两点间的距离【例1】如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a)(1)求MN的长；(2)a为何值时，MN的长最小？解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，F(1，1，0)，C(0，0，1)因为CMBNa(0a)，且四边形ABCD，ABEF为正方形，所以M，N，所以，所以|(0a)(2)由(1)知MN，所以，当a时，MN即当a时，MN的长最小，最小值为求空间两点间距离的常用方法(1)利用|a|2aa，通过向量运算求|a
7、|，如求A，B两点间的距离，一般用|求解(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时跟进训练1如图所示，在120的二面角AB中，AC，BD且ACAB，BDAB，垂足分别为A，B，已知ACABBD6，试求线段CD的长解ACAB，BDAB，0，0，又二面角AB的平面角为120，60，|CD|2|2()22222()362262cos 60144，CD12 类型2点到直线的距离【例2】已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AA11，AB4，BC3，ABC90，求点B到直线A1C1的距离解以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则A1(4，0，1)，C1(0，3
8、，1)，所以(4，3，0)设点E满足，且BEA1C1，则(4，0，1)(4，3，0)(44，3，1)，又，(44，3，1)(4，3，0)0，|，点B到直线A1C1的距离为1(变问法)条件不变，试求B到AC1的距离解建系如本例解法，(4，3，1)，设M满足且0，则(4，0，0)(4，3，1)(44，3，)又0，(44，3，)(4，3，1)0，|，B到AC1的距离为2(变条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱ABCA1B1C1且所有棱长均为2”，求点B到A1C1的距离解以B为原点，分别以BA，过B垂直于BA的直线，BB1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A1(2，0，2
9、)，C1(1，2)，(2，0，2)，所以(1，0)，设E满足且BEA1C1，(2，0，2)(1，0)(2，2)，又，(2，2)(1，0)0，230，|，点B到A1C1的距离为求点M到直线AB的距离的方法与步骤(1)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线AB上取一点E，点E满足两个条件：，MEAB(2)利用(1)中的两个等量关系求出的值，进而求出点E的坐标，求出向量|的模即为M点到AB的距离跟进训练2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离解以D为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图设DA2，则A
10、(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，(1，2，1)，(1，0，2)|，|1(1)02(2)(1)1，在上的投影的数量为点A到直线EF的距离d 类型3点到平面的距离【例3】如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离解法一：设点A到平面A1BD的距离为h，则Vaaaa3，Vh(a)2a2h，VV，ha，点A到平面A1BD的距离为a法二：如图所示，建立空间直角坐标系B1 xyz，则A1(a，0，0)，A(a，0，a)，D(a，a，a)，B(0，0，a)，则(a，a，0)，(0，a，a)，(a，0，0)设平面A1BD的一个法向量n(x，y，z)
11、，则即令y1，则xz1，n(1，1，1)n(a，0，0)(1，1，1)a点A到平面A1BD的距离da用向量法求点面距的方法与步骤提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量跟进训练3如图所示，已知ABC是以B为直角的直角三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离解建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0，2，0)，S(0，0，2)，D(1，4，0)，(0，2，2)，(1，4，2)设平面SND的法向量为n(x，y，1)则n0，n0，n(2，1，1)，(0，0，2)，点A到平面SND的距离为 类型4线面、面面间的距离【例4】
12、已知边长为4的正ABC，E，F分别为BC和AC的中点PA2，且PA平面ABC，Q是CE的中点(1)求证：AE平面PFQ；(2)求AE与平面PFQ间的距离解如图，以A为坐标原点，平面ABC内过点A且垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系AP2，ABBCAC4，又E，F分别是BC，AC的中点，A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，P(0，0，2)(1)，(，3，0)，2与无交点，AEFQ又FQ平面PFQ，AE平面PFQ，AE平面PFQ(2)由(1)知，AE平面PFQ，点A到平面PFQ的距离就是AE与平
13、面PFQ间的距离设平面PFQ的法向量为n(x，y，z)，则n，n，即n0，n0又(0，2，2)，n2y2z0，即yz又，nxy0，即xy令y1，则x，z1，平面PFQ的一个法向量为n(，1，1)又(0，2，0)，所求距离d求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡.跟进训练4正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离解以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，
14、B(1，1，0)，D1(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，0，0)设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则令z1，得y1，x1，n(1，1，1)点D1到平面A1BD的距离d平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，平面A1BD与平面B1CD1间的距离为1已知平面的一个法向量n(2，2，1)，点A(1，3，0)在内，则P(2，1，4)到的距离为()A10B3CDD(1，2，4)，d2已知平面的一个法向量为n(2，2，1)，点A(1，3，0)在平面内，则点P(2，1，3)到平面的距离为()ABC1DA由题意(3，2，3)，则d，故选A3若正四棱柱
15、ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为()AB1CDD如图，A1C1平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60，AB1，BB1即点A1到平面ABCD的距离为4在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2，3，6，则点M到顶点P的距离是_7以P为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP|75在RtABC中，C30，B90D是BC边的中点，AC2，DE平面A
16、BC，DE1，则点E到斜边AC的距离是_作DHAC于点H，连接EH(图略)因为DE平面ABC，所以DEAC，因为DEDHD，所以AC平面DEH，所以EHAC，所以EH即为所求距离由B90，C30，AC2，得BC因为D是BC边上的中点，所以DHCDBC又DE1，所以EH回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何正确理解点A到平面的距离d？提示(1)点B是平面内的任意一点，可视题目的情况灵活选择(2)表示向量在法向量n方向上的投影的大小，因此，点A到平面的距离也可以表示成或(3)由于n0是平面的单位法向量，所以点A到平面的距离的实质就是平面的单位法向量与从该点出发的平面的任一条斜线段AB对应的向量的数量积的绝对值，即d|n0|2求点到平面的距离的常用方法有哪些？提示定义法、等积转化法、向量法
