1、1.2.4二面角学 习 任 务核 心 素 养1掌握二面角的概念、二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角(重点)2掌握求二面角的方法、步骤(重点、难点)1通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养数学抽象素养2借助求二面角的方法和步骤的学习，提升逻辑推理、数学运算素养地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面的交角(二面角的平面角)为2326黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”黄道及其附近的南北宽9以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起，每30便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、
2、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来.今天我们研究的问题便是如何计算二面角的大小.知识点1二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，每个半平面称为二面角的面棱为l，两个面分别为，的二面角的面，记作l，若A，B，则二面角也可以记作AlB，二面角的范围为0，(3)二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则AOB称为二面角l的平面角二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角如何找二面角的平
3、面角？提示(1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致(4)射影面积公式法已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S，平面和平面所成的二面角的大小为，则cos 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)二面角的范围是()(2)若二面角l的两个半平面的法向量分别为n1，n2，则二面角的平面角与两法向量夹角n1，n2一定相等()(3)二面角的
4、大小通过平面角的大小来度量()答案(1)(2)(3)提示(1)范围是0，(2)不一定可能相等，也可能互补(3)知识点2用空间向量求二面角的大小如果n1，n2分别是平面1，2的一个法向量，设1与2所成角的大小为则n1，n2或n1，n2，sin sinn1，n2二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补2(1)已知二面角l，其中平面的一个法向量m(1，0，1)，平面的一个法向量n(0，1，1)，则二面角l的大小可能为_(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角A1BDC1的余弦值是_(1)60或120(2)(1)cosm，n，m，n120，二面角l的大小为60或120(2)如图，
5、建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，(1，0，1)，(1，1，0)设n(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，则即令x1，则y1，z1，n(1，1，1)同理，求得平面BC1D的一个法向量m(1，1，1)，则cosm，n，所以二面角A1BDC1的余弦值为 类型1用定义法求二面角【例1】如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若PAB是边长为2的正三角形，且COAB，求二面角PACB的正弦值解如图，取AC的中点D，连接OD，PD，PO底面，POAC，OAOC，D为AC的中点，ODAC，又POODO，AC平面PO
6、D，则ACPD，PDO为二面角PACB的平面角PAB是边长为2的正三角形，COAB，PO，OAOC1，OD，则PDsinPDO，二面角PACB的正弦值为用定义求二面角的步骤是什么？提示(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角(3)解三角形求角跟进训练1已知矩形ABCD的两边AB3，AD4，PA平面ABCD，且PA，则二面角ABDP的正切值为_过A作AOBD，交BD于O，连接PO，矩形ABCD的两边AB3，AD4，PA平面ABCD，且PA，BD5，POBD，POA是二面角ABDP的平面角，BDAOABAD，AO，tanPOA二面角ABD
7、P的正切值为 类型2用向量法求二面角【例2】如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值1所有棱长都相等的四棱柱是正方体吗？提示不一定是正方体，因为其侧棱不一定垂直于底面，底面是菱形，也不一定是正方形2以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系可以吗？为什么？提示不可以因为AB与AD不垂直解(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1AC，DD1BD，又CC1DD1OO1
8、，所以OO1AC，OO1BD，因为ACBDO，所以O1O底面ABCD(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，ACBD，又O1O底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系设棱长为2，因为CBA60，所以OB，OC1，所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，平面BDD1B1的一个法向量为n(0，1，0)，设平面OC1B1的法向量为m(x，y，z)，则m，m，所以x2z0，y2z0，取z，则x2，y2，所以m(2，2，)，所以cosm，n由图形可知二面角C1OB1D的大小为锐角
9、，所以二面角C1OB1D的余弦值为1(变问法)本例(2)条件不变，求二面角BA1CD的余弦值解如图建立空间直角坐标系设棱长为2，则A1(0，1，2)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(，0，0)所以(，1，0)，(0，2，2)，(，1，0)设平面A1BC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即取x1，则y1z13，故n1(，3，3)设平面A1CD的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即取x2，则y2z23，故n2(，3，3)所以cosn1，n2由图形可知二面角BA1CD的大小为钝角，所以二面角BA1CD的余弦值为2(变条件、变问法)本例四棱柱中，CBA60改为CBA90，设E，F分别是棱B
10、C，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值解以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E，D1(0，1，1)，F，(1，0，1)，(0，1，1)设平面AB1E的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令y12，则x11，z11，所以n1(1，2，1)设平面AD1F的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即令x22，则y21，z21所以n2(2，1，1)所以平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值为利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大
11、小，如图用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2(3)计算：求n1与n2所成锐角，cos (4)定值：若二面角为锐角，则为；若二面角为钝角，则为提醒：正确计算出平面的法向量是关键跟进训练2如图所示，PA平面ABC，ACBC，BC，PAAC1，则二面角APBC的余弦值为_法一：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，取PB的中点D，连接DC，易得PCBC，DCPB，作AEPB于E则向量与的夹角的大小为二面角APBC的大小易知A(1，0，0)，B(0，0)，C(0，0，0)，P(1，0，1)，又D为PB的中点，
12、D在RtPAB中，E，又|，|1，cos，即二面角APBC的余弦值为法二：如图所示，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，故(0，0，1)，(，1，0)，(，0，0)，(0，1，1)设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，则m(1，0)为平面PAB的一个法向量设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则n(0，1，1)为平面PBC的一个法向量，cosm，n由图可知二面角APBC是锐角，二面角APBC的余弦值为 类型3空间中的翻折与探索性问题【例3】如图甲，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC
13、，CD2AB2BC4，过A点作AECD，垂足为E，现将ADE沿AE折叠，使得DEEC取AD的中点F，连接BF，CF，EF，如图乙甲乙(1)求证：BC平面DEC；(2)求二面角CBFE的余弦值解(1)证明：DEEC，DEAE，AEECE，DE平面ABCE，又BC平面ABCE，DEBC，又BCEC，DEECE，BC平面DEC(2)如图，以点E为坐标原点，分别以EA，EC，ED为x，y，z轴建立空间直角坐标系Exyz，则E(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，D(0，0，2)，A(2，0，0)，F(1，0，1)，设平面EFB的法向量n1(x1，y1，z1)，由(1，0，1)，(2，2，
14、0)，所以取x11，得平面EFB的一个法向量n1(1，1，1)，设平面BCF的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，由(1，2，1)，(2，0，0)，取y21，得平面BCF的一个法向量n2(0，1，2)，设二面角CBFE的大小为，则cos 1与空间角有关的翻折问题的解法要找准翻折前后图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题2关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图、论证、推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理跟进训练3如图，在棱长为2的正方体ABCDA1
15、B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02)(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在实数，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz由题意得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，)故(2，0，2)，(1，0，)，(1，1，0)(1)当1时，(1，0，1)(2，0，2)，2，又BFP，BC1FP又FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线
16、BC1平面EFPQ(2)设平面EFPQ的法向量为n(x，y，z)，由得取z1，则平面EFPQ的一个法向量为n(，1)同理，平面PQMN的一个法向量为m(2，2，1)若存在实数，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则mn(2，2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1故存在实数，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，此时的值为11三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1n2，若n1，n2，则二面角ABDC的大小为()ABC或D或C当二面角ABDC为锐角时，等于n1，n2当二面角ABDC为钝角时，等于n1，n22已知ABC和BCD均为边长为a的等
17、边三角形，且ADa，则二面角ABCD的大小为()A30B45C60D90C如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AEBC，DEBC，且AEDEa，又ADa，AED60，即二面角ABCD的大小为603如图所示，在正四棱锥PABCD中，若PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为8，则侧面与底面所成的二面角为()ABCDD设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为，高为h，斜高为h，则，sin ，即4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1
18、(1，0，1)，E，(1，0，1)，设平面A1ED的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，且n0，即令x1，得y，z1n，又平面ABCD的一个法向量为(0，0，1)，则cosn，5若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是_120设二面角大小为，由题意可知cos()，所以120回顾本节知识，自我完成以下问题：1构成二面角的平面角有几个要素？提示(1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直2二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？提示条件平面，的法向量分别为u，v，所构成的二面角的大小为，u，v图形关系计算cos cos cos cos