1、1.2.2空间中的平面与空间向量学 习 任 务核 心 素 养1理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量(重点)2会用平面的法向量、直线的方向向量证明直线与平面、平面与平面的平行、垂直问题(重点)3理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题(难点)1通过本节知识的学习，培养数学抽象素养2借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们
2、就能知道下边线与地面平行这是为什么呢？知识点1平面的法向量(1)如果是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面垂直，则称n为平面的一个法向量，此时也称n与平面垂直，记作n1平面的法向量有多少个？它们之间什么关系？提示无数个平行2一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？提示垂直(2)平面的法向量的性质如果直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量如果n是平面的一个法向量，则对任意的实数0，空间向量n也是平面的一个法向量，而且平面的任意两个法向量都平行如果n为平面的一个法向量，A为平面上一个已知的点，则对于平面上任意一点B，向
3、量一定与向量n垂直，即n0，从而可知平面的位置可由n和A唯一确定(3)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，则nvl，nvl，或l(4)如果n1是平面1的一个法向量，n2是平面2的一个法向量，则n1n212，n1n212，或1与2重合1(1)若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为u(2，0，4)，则()AlBlClDl与斜交(2)平面的一个法向量为(1，2，0)，平面的一个法向量为(2，1，0)，则平面与平面的位置关系为()A平行B相交但不垂直C垂直D不能确定(1)B(2)C(1)a(1，0，2)，u2(1，0，2)2a，u与a平行，l(2)(1，2，0)(2，1，
4、0)0，两法向量垂直，从而两平面垂直知识点2三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直定理中的已知直线必须是已知平面内的直线2思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知直线l垂直于平面，向量a与直线l平行，则a是平面的一个法向量()(2)若直线l是平面外的一条直线，直线m垂直于l在平面内的投影，则l与m垂直()(3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量()答案(1)(2)(3)提示(1)不一定当a
5、0时，也满足al，尽管l垂直于平面，a也不是平面的法向量(2)不一定若直线m在平面外，例如m，尽管m垂直于直线l在平面内的投影，也不能得出ml(3) 类型1求平面的法向量【例1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点，ABAP1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量解在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C(1，0)，D(0，0)，P(0，0，1)，E，(1，0)，设平面ACE的法向量n(x，y，z
6、)，则取y，得n(3，3)平面ACE的一个法向量为n(3，3)求平面的法向量的步骤跟进训练1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD2，PD底面ABCD，且PDAD，求平面PAB的一个法向量解因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD，从而BD2AD2AB2，故BDAD，以D点为坐标原点，射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0，0)，B(0，0)，P(0，0，1)(1，0)，(0，1)，设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即即因此可取n(，1，)平面PAB的一个法向量为(，1，) 类型2利用法向量证明空
7、间中的位置关系【例2】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点证明：(1)C1M平面ADE；(2)平面ADE平面A1D1F利用空间向量证明线面平行和垂直问题的依据是什么？提示因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置关系，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间线面、面面间的平行和垂直关系(1)设v是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，则：nvl；nvl，或l(2)设n1是平面1的一个法向量，n2是平面2的一个法向量，则：n1n212；n1n212，或1与2重合证明(1)以D为原点，向量，的方向分别为x轴、y轴
8、、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为1则D(0，0，0)，A(1，0，0)，E，C1(0，1，1)，M，(1，0，0)，设平面ADE的一个法向量为m(a，b，c)，则即令c2，得m(0，1，2)，m(0，1，2)0110，m又C1M平面ADE，C1M平面ADE(2)由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F，得(1，0，0)，设平面A1D1F的一个法向量为n(x，y，z)，则即令y2，则n(0，2，1)mn(0，1，2)(0，2，1)0220，mn平面ADE平面A1D1F1(变结论)本例条件不变，试求直线D1E的一个方向向量和平面EFM的一个法向量解如本例建系定坐标，D1(
9、0，0，1)，E，M，所以，即直线D1E的一个方向向量设平面EFM的法向量为n(x，y，z)，因为F，所以，(0，1，0)，由即所以令x1，则z2所以平面EFM的一个法向量为(1，0，2)2(变条件，变结论)在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变试证：EN平面B1AC证明如本例解析，E，N，A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，(0，1，1)，(1，1，0)，0，0，即ENAB1，ENAC又AB1ACA，EN平面B1AC利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算.提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示.
10、跟进训练2如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD1证明：(1)PQ平面DCQ；(2)PC平面BAQ证明如图，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz(1)依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则(1，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，所以0，0，即PQDQ，PQDC且DQDCD，故PQ平面DCQ(2)根据题意得，(1，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，故有0，0，所以为平面BAQ的一个法向量又因为(0，2，1)，且0，即DAPC，且PC平面BAQ，故有PC平面BAQ 类型3
11、三垂线定理及其逆定理的应用【例3】如图，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1平面AB1C证明连接BD，A1B，四边形ABCD是正方形，ACBD又DD1平面ABCD，BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影，BD1AC，而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影，BD1AB1又AB1ACA，BD1平面AB1C利用三垂线定理证明线线垂直的关键点与注意点(1)关键点：找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影(2)注意点：要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果跟进训练3在四面体PABC中，PABC，PBAC，求
12、证：PCAB证明如图，过P作PH平面ABC，连接AH并延长交BC于E，连接BH并延长交AC于F，PH平面ABC，PABC，而PA在平面ABC内的射影为AH，由三垂线定理的逆定理知BCAH，同理可证BFAC则H为ABC的垂心，连CH并延长交AB于G，于是CGAB，而CH是PC在平面ABC内的射影，故PCAB1若直线l的方向向量a(1，2，1)，平面的一个法向量m(2，4，k)，若l，则实数k()A2B10C2D10A直线l的方向向量a(1，2，1)，平面的法向量m(2，4，k)，l，am，解得k22已知平面的一个法向量为a(1，2，2)，平面的一个法向量为b(2，4，k)，若，则k()A4B4C
13、5D5D，ab，ab1(2)2(4)(2)k0，k53若两个向量(1，2，3)，(3，2，1)，则平面ABC的一个法向量为()A(1，2，1)B(1，2，1)C(1，2，1)D(1，2，1)A设平面ABC的一个法向量n(x，y，z)，则取x1，得平面ABC的一个法向量为(1，2，1)4已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量u(1，3，z)，向量v(3，2，1)与平面平行，则z_9由题意知uv，uv36z0z95设平面的一个法向量的坐标为(1，2，2)，平面的一个法向量的坐标为(2，4，k)，若，则k等于_4，两平面的法向量平行，k4回顾本节知识，自我完成以下问题1平面的法向量有何特点？提示设向量n是平面的一个法向量则(1)n是一个非零向量(2)向量n与平面垂直(3)平面的法向量有无数多个，它们都与向量n平行，方向相同或相反(4)给定空间中任意一点A和非零向量n，可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面2用向量法证明空间线面平行和垂直问题有何优势？提示利用向量法来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，不必考察图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到证明的结果3利用三垂线定理证明线线垂直的步骤是什么？提示(1)找平面(基准面)及平面的垂线(2)找射影线(平面上的直线与斜线)(3)证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直