1、2020-2021学年新教材人教A版选择性必修第一册 第三章圆锥曲线的方程 单元测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、方程x2cos-y2sin=1(其中在第四象限)所表示的曲线是（ ）A焦点在X轴上的双曲线 B焦点在Y轴上的双曲线C焦点在X轴或Y轴上的椭圆 D以上答案都不对2、如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）A. B. C. D.3、已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（ ）(A) 1 (B) 3 (C)
2、 4 (D) 84、已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为( )A B C D5、已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为（）ABCD6、过双曲线x2=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2|PN|2的最小值为（）A10B13C16D197、设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）A椭圆 B线段 C不存在 D椭圆或线段8、过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦， 是另一焦点，若，则双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D. 9、如图所示，椭
3、圆中心在坐标原点， 为左焦点，当，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比黄金椭圆，可推算出黄金双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D. 10、已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为H，则（ ）A1B2C4D11、若的两个顶点坐标分别为，的周长为18。则顶点满足的一个方程是（ ）A B C D 12、已知圆，定点，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，（ ）A BC D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知点P(x，y)在椭圆1上，则x22y的最大值是_14、已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，以原点O为圆
4、心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A、B两点，若F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于.15、已知是椭圆的左右焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为_16、双曲线的渐近线为，一个焦点为，则_.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（本小题满分10分）已知椭圆C1：，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，求直线AB的方程18、（本小题满分12分）设椭圆的两个焦点是， ，且椭圆上存在点使得直线与直线垂直.(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)若直线与椭圆另
5、一个交点为，当，且的面积为时，求椭圆方程.19、（本小题满分12分）设椭圆方程 (),为椭圆右焦点,为椭圆在短轴上的一个顶点,的面积为6,(为坐标原点);(1)求椭圆方程;(2)在椭圆上是否存在一点,使的中垂线过点？若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.20、（本小题满分12分）求经过点且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.参考答案1、答案D2、答案A.，故选A.3、答案C如图所示，由已知可设，点P,Q在抛物线上，P（4,8），Q（-2.，2），又抛物线可化为过点P的切线斜率为，过点Q的切线为，即联立，解得，点A的纵坐标为-4.考点定位：本小题考查抛物线和导数知识，意在考查考生对抛物线的理解以
6、及对利用导数求切线方程的理解4、答案D详解：所以双曲线的渐近线方程为所以点（4，0）到渐近线的距离故选D5、答案D因为椭圆的离心率为,所以,所以,即,双曲线的渐近线为,代入椭圆得,即,所以,则第一象限的交点坐标为,所以四边形的面积为,所以,所以椭圆方程为,选D.6、答案B解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（4，0），半径为r1=2；圆C2：（x4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线x2=1的左右焦点为F1（4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2|PN|2=（|PF1|2r12）（|PF2|2r22）=（|PF1|24）（|PF
7、2|21）=|PF1|2|PF2|23=（|PF1|PF2|）（|PF1|+|PF2|）3=2a（|PF1|+|PF2|3=2（|PF1|+|PF2|）32？2c3=2？83=13当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13故选B7、答案D当时，由均值不等式的结论有： ，当且仅当时等号成立.当时，点的轨迹表示线段,当时，点的轨迹表示以位焦点的椭圆,本题选择D选项.8、答案B由已知可得 ，故选B.9、答案B类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中， ， ， 当时， 整理可得： 解得或（舍去）故黄金双曲线的离心率为故选10、答案A双曲线右支取一点P并延长，交于Q，由角平分线的性质知，结合双曲线的焦半径关系
8、即，进而利用三角形中位线的性质即可求详解：不妨在双曲线右支上取点P，延长，交于点Q，由角平分线性质可知根据双曲线的定义得，从而在中，OH为其中位线，故故选：A11、答案D根据三角形周长可知，可知顶点C的轨迹是椭圆，即可写出方程.详解由题意，得，所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点，且的椭圆，又因为A，B，C三点不共线，所以顶点C的轨迹方程为故选D.12、答案A由已知得Q为PN的中点且GQPN，|GN|+|GM|=|MP|=8，从而得到G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=4，半焦距c=，由此能求出点G的轨迹方程解：圆，定点，点P为圆M上的动点，M（，0），PM=8，点Q在NP上，=0，Q
9、为PN的中点且GQPN，GQ为PN的中垂线，|PG|=|GN|，|GN|+|GM|=|MP|=8，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=4，半焦距c=，短半轴长b=3，点G的轨迹方程是=1.故选：A13、答案法一：设点P(2cos ，sin )，x22y4cos2 2sin 4sin2 2sin 4；令Tx22y，sin t，(1t1)，则T4t22t4，对称轴t，TmaxTt4，x22y的最大值是.法二：由1得x24(1y2)；令Tx22y，代入得T44y22y，即T4(y)24；当y时ymax4；即x22y的最大值是.14、答案15、答案根据椭圆的定义及条件求出点的坐标，然后根
10、据点在椭圆上可得，进而可求得椭圆的离心率详解如图，不妨设点是椭圆短轴的上端点，则点D在第四想象内，设点由题意得为等腰三角形，且由椭圆的定义得，又，解得作轴于，则有，点的坐标为又点在椭圆上，整理得，所以故答案为：16、答案2分析由题意布列关于a的方程即可得到结果.详解由题意可得：，又故答案为：217、答案解：由已知可设椭圆C2的方程为(a2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为解：方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx，将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以将ykx代入
11、中，得(4k2)x216，所以又由得，即，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以由得，将代入中，得，即4k214k2，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx解：由已知可设椭圆C2的方程为(a2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为解：方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx，将ykx代入
12、y21中，得(14k2)x24，所以将ykx代入中，得(4k2)x216，所以又由得，即，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以由得，将代入中，得，即4k214k2，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx18、答案(1)由是直角三角形知，即，故(2)设椭圆方程为，由得：直线的斜率，设直线的方程为：，于是椭圆方程可化为：把代入，得：，整理得：，设则x1、x2是上述方程的两根，且，点到直线的距离为，所以： 得：，所求椭圆方程为：19、答案(1)设 为椭圆在短轴上的一个顶点,且的面积为6,.又.或.椭圆方程为或.(2)假设存在点,使的中垂线过点.若椭圆方程为,则,由题意, 点的轨迹是以为圆心,以3为半径的圆. 设,则其轨迹方程为.显然与椭圆无交点.即假设不成立,点不存在.若椭圆方程为,则, 点的轨迹是以为圆心,以4为半径的圆. 则其轨迹方程为.则,.故满足题意的点坐标分别为,20、答案详解：依题意,设双曲线的方程为,双曲线过点和,解得,故双曲线的标准方程为.