1、2020-2021学年新教材人教A版必修第二册 第八章 立体几何初步 单元测试一、选择题1、已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD2、某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的体积为( )ABCD13、在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱A1B1上一点，且AB2，若二面角B1BC1E为45，则四面体BB1C1E的外接球的表面积为（ ）AB12C9D104、三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD5、已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )ABCD6、一个几何体的正视图和侧视图都是面
2、积为的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（ ）7、阿基米德（公元前287年公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）ABCD8、下列说法中正确的个数是（ ）圆锥的轴截面是等腰三角形；用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台；棱台各侧棱的延长线交于一点
3、；有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 A0B1C2D39、在三棱锥中，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD10、已知不同直线、与不同平面、，且，则下列说法中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则11、正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）ABCD12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）AB3CD二、填空题13、有如下命题：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；平行于同一条直线的两条直线平行；如果空间中两个角的两边
4、分别对应平行，那么这两个角相等或互补其中作为公理（基本事实）的是_（填写序号）14、已知某长方体的所有顶点均在半径为的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为_.15、已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，则球的表面积为_.16、自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，则_三、解答题17、（本小题满分10分）如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，求证：平面平面.18、（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧棱与底面垂直），分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.19、（本小题满分12分）如图在三棱锥中，分别为棱的中点，
5、已知.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.20、（本小题满分12分）如图，已知三棱锥A-BPC中，M为AB的中点，D为PB的中点，且为正三角形.（1）求证：平面APC；（2）若，求三棱锥D-BCM的体积.参考答案1、答案D解析根据三视图的特点，将三棱锥放置到正方体中，根据正方体计算出三棱锥外接球的表面积.详解在正方体中作出三棱锥的直观图（红色部分所示），可知三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设外接球半径为，所以，所以三棱锥外接球表面积为：.故选：D.点睛本题考查几何体的外接球表面积的计算，难度一般.求解几何体外接球的常见方法：（1）若几何体的顶点可以刚好和正方体或者长方体的若干顶点重合，则可
6、以根据正方体或者长方体的外接球完成求解；（2）通过球与圆的性质，确定出外接球的球心，求解出外接球的半径并完成相关计算.2、答案A解析由图可得,故选A.考点：三视图.方法点晴本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握锥体的体积公式.3、答案D解析连接交于，可得，利用线面垂直的判定定理可得：平面，于是，可得而为二面角的平面角，再求出四面体的外接球半径，进而利用球的表面积计
7、算公式得出结论详解：连接交于，则，易知，则平面，所以，从而为二面角的平面角，则.因为，所以，所以四面体的外接球半径故四面体BB1C1E的外接球的表面积为故选：D点睛本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、二面角的平面角、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4、答案A解析分析可知球心在的中点因为，所以所以球的半径所以此球的表面积为故A正确考点：三棱锥的外接球5、答案A解析求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积详解由题意侧棱长为所以表面积为：故选：A.点睛本题考查棱柱的表面积，解题关键是求出侧棱长6、答案B解析由于原几何体的正视图和侧视图都是面积为的正方形
8、，所以对于选项，原几何体为三棱柱；对于选项，一定不能满足其正视图和侧视图都是面积为的正方形，所以不正确；对于选项，原几何体为正方体；对于选项，原几何体为正方体被截掉的圆柱所得的空间几何体；故应选.考点：1、三视图；7、答案C解析设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.详解：设球的半径为R，根据题意圆柱的表面积为，解得，所以该球的体积为 .故选：C点睛本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.8、答案C解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解.详解对于，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，正确；对于，只
9、有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，错误；对于，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长线交于一点，正确；对于，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如：把两个同底面的倾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但是这个几何体不是四棱柱，所以错误；综上所述，正确命题的序号是，共2个故选：C点睛本题主要考查空间几何体的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、答案C解析首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的
10、一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积详解：取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，为的中点由球的性质可知：平面，且设，在中，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为故选：.点睛本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.10、答案C解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，
11、若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、答案A解析详解：如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角POEOE=2cm，OPE=30，斜高h=PE=，S正棱锥侧=故选：A12、答案B解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得，联立得：，.故答案为：B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关
12、系.13、答案解析根据公理可得出结论.详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题为公理.命题为等角定理.故答案为：.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.14、答案24解析由长方体的体对角线为外接球的直径可知，长方体的表面积为22可得，联立可得：，即可得棱长之和.详解：设该长方体的长、宽、高分别为，由体对角线为外接球的直径得，由长方体的表面积为22得:，两式相加得，即，故
13、此长方体的所有棱长之和为.故答案为：24点睛本题主要考查了长方体的外接球的直径即是长方体的体对角线，涉及长方体的表面积公式，属于基础题.15、答案解析将四面体补成直三棱柱，根据题意画出图象，设，的外心分别为，则点为线段的中点，求出，在根据正弦定理，求出，根据勾股定理和球的表面积公式，即可求得答案.详解：四面体的所有顶点在球的表面上，且平面，将四面体补成直三棱柱，设，的外心分别为，则点为线段的中点，根据直棱柱特征可得：面根据题意画出图象，如图：可得：，在根据正弦定理：(为三角形外接圆半径)根据为的外心，可得为外接圆半径即，面，面故为直角三角形在中，根据勾股定理可得：，.故答案为：.点睛本题主要考
14、查了求四面体外接球表面积问题，解题关键是掌握将四面体补成直三棱柱求外接球半径的方法和球的表面积公式，数形结合，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.16、答案解析，可以构成球内接长方体的三条共顶点的边，计算得到答案.详解：根据题意，可以构成球内接长方体的三条共顶点的边，则.故答案为：.点睛本题考查了球的内接长方体问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.详解：由于四边形是正方形，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面.点睛本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.解析18、答案（1）证明见解析；（2）（2）由为的中点，可得到底面的距离等于，再求出底面的面积，代入
15、棱锥体积公式求解详解：（1）如图，取的中点，连接，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；，分别为，的中点，平面，平面，平面，又，平面平面，平面则平面；（2）为的中点，到底面的距离等于又底面是边长为2的等边三角形，点睛本题主要考查直线与平面平行的判定以及锥体的体积，考查空间想象能力与思维能力，考查了计算能力，是中档题解析详解（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面考点线面平行与面面垂直解析20、答案（1）证明见解析；（2）（2）根据题意得到平面BCD的距离为的长，由三棱锥
16、D-BCM的体积即为三棱锥M-BCD的体积，由题设条件求出的长，及三角形BCD的面积，由椎体体积公式代入数据求解即可.详解（1）证明：因为M为AB的中点，D为PB的中点，所以MD是的中位线，.又平面APC，平面APC，所以平面APC.（2）在等边三角形PMB中，D为PB的中点，又，平面PBC，平面PBC，平面PBC，平面PBC，又，平面PAC，平面PAC，平面PBC，.平面PBC，即MD是三棱锥M-DBC的高.又因为，M为AB的中点，为正三角形，所以，由平面APC，可得，在直角三角形PCB中，由，可得.于是,所以.点睛本题主要考查线面平行的判定及椎体的体积，解题的关键时对三棱锥体积的转化.解析