1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.掌握同角三角函数的基本关系式2掌握正弦、余弦的诱导公式3能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明考试热点以选择题或填空题的形式，考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角函数求值问题和三角恒等变换中的应用.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 一、同角三角函数的
2、三个基本关系式(1)(2)(3)其中(1)是平方关系，(2)是商数关系，(3)是倒数关系 利用上述基本关系式，可以根据一个角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值，还可以进行化简与证明tancot1sin2cos21Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 说明：教材对于同角三角函数只有这三个基本关系式，而除此之外，还有如下五个关系式：1tan2sec2 1cot2csc2 cot cossec1 sincsc1 若能掌握补充的这五个关系式，对做题肯定是有帮助的这五个关系式用定义容易给予证明，在此略Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 二、诱导公式 诱
3、导公式是指角的三角函数与诸如，180，90，270，360，360k等三角函数之间的关系，其内容相似，极易混淆，其记忆规律是：其中奇变偶不变中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍变与不变指的是函数名称的变化，若是奇数倍，则正余弦互变，正、余切互变奇变偶不变、符号看象限Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 如：sin()cos.若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限，若把看作锐角，则270，180都看成是第三象限的角值得注意的是，其中为任意角，并不一定要为锐角，只不过是在运用的过程中把它“看作”是锐角而已 利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：Copyri
4、ght 2004-2009 版权所有 盗版必究 1sin210()解析：sin210sin(18030)sin30 答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2是第四象限角，tan，则sin等于()答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：CCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5已知tan(3)2，则 _.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyrig
5、ht 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知角的一个三角函数值，求的其他三角函数值 例1 求sin、tan的值：(1)cos(2)cosm(|m|1)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)当|m|1 时，k(kZ)，此时 sin0，tan0；当 m0 时，k2(kZ)，sin1，tan不存在；当 0|m|1 时，若 是第一、二象限的角，sin 1m2，tan 1m2m；若 是第三、四象限的角，则 sin 1m2，tan 1m2m.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知tanm，求sin.解：若m0，则k，kZ sin0，若m0，若在一、
6、二象限，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 平方关系的应用 例2 已知在ABC中，sinAcosA，(1)求sinAcosA；(2)判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值 分析 可先把sinAcosA 两边平方得出sinAcosA，然后借助于A(0，)及三角函数符号法则可得sinA与cosA的符号，从而进一步构造sinAcosA的方程，最后联立求解Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)sinAcosA15两边平方得 12sinAcosA 125，sinAcosA1225.(2)由(1)sinAcosA12250，且 0A
7、，可知 cosA0，cosA0，sinAcosA75由，可得 sinA45，cosA35，tanAsinAcosA453543.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 对于这类利用已知的一个三角函数值或者几种三角函数值之间的关系及所在的象限，求其他三角函数值的问题，我们可以利用平方关系和商数关系求解其关键在于运用方程的思想及(sincos)212sincos的等价转化，分析出解决问题的突破口Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2009内蒙古赤峰模拟)已知 f(sinxcosx)tanx(x0，)，则f()等于()Copyright 200
8、4-2009 版权所有 盗版必究 解析：本题可转化为已知 sinxcosx 713，x0，求 tanx.由 sinxcosx 713.两边平方，得 12sinxcosx 49169，2sinxcosx1201690，cosx0.(sinxcosx)2289169.sinxcosx1713.由，可得 sinx1213，cosx 513，tanx125.答案：ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 sin、cos的齐次式问题Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(1)原式1sincos1sincos1 21 232 2.(2)2sin2sincoscos2
9、2sin2sincoscos2sin2cos22tan2tan11tan25 23.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 解决本题的关键在于如何处理已知条件，这需要一定的技巧若由已知能得出 tan 2，则问题就转化为已知正切值求三角函数值的题型，所求的式子特征为分子与分母是关于 sin、cos 的齐次式，即sin、cos 的次数相同，如(1)式中次数均为一次，(2)式则可以看作2sin2sincoscos2sin2cos2，那么 sin、cos 的次数均为二次这类齐次式的求法，通常是将分子分母同除以 cos 的最高次，将原式转化为 tan 的表达式进行求解Cop
10、yright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知tan2，则 解析：(1)注意分式的分子、分母均为关于sin、cos的一次齐次式，将分子分母同除以cos(cos0)，然后代入tan2即可Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(3)与(1)(2)不同，但注意到式子有二次齐次式，不妨把其看成分式，分母为 1，将 1 变为 sin2cos2，便顺利求解sin2cos21，4sin23sincos5cos24sin23sincos5cos2sin2cos24tan23tan5tan2144325411.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 诱导公式的
11、运用 分析 要求的值，只需求出的某一个三角函数值即可Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 在对三角函数式进行化简时，常用方法有：利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，有时要对角中的字母进行分类讨论 常用“切化弦”法，即表达式中的切函数化为弦函数 要注意“1”的变式应用，如1sin2cos2tan等Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知是第三象限角，且f()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)f()sincoscotcotsin cos.(2)cos(32)cos(32)sin，sin15，为
12、第三象限角，cos 521525 6，f()25 6.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1本节内容公式较多，要正确理解和记忆诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”这十字口决进行记忆 2同角关系的主要应用(1)求三角函数式的值：已知一个角的某个三角函数值，求出这个角的其他5种三角函数值要注意公式的合理选择，利用平方关系时，要特别注意符号的选取这也是分类讨论的标准Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 对于 sincos，sincos，sincos，借助方程思想可知一求二如 sincos 1s
13、in2，若令 sincost(|t|2)，则 sincost212，(sincos)22t2 等关于 sin，cos 的同次式可化为正切处理Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)证明三角恒等式：证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用方法有：从一边开始证得另一边；证明左右两边都等于同一个式子；分析法等(3)化简三角函数式Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3诱导公式其作用主要是将任意角的三角函数值转化为090角的三角函数值，具体步骤是：负角化正角正角化锐角求值 4在三角变换中要注意公式的变形使用，如“1”的妙用(1sin2cos2tan45)，弦切互化(化弦法、化切法等)、消去法及方程思想的运用 5在进行三角变形时，要细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、是三角变形的指导思想，利用同角三角函数的基本关系式主要是统一函数，要掌握切、弦互化的方法Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究