1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲预览1.了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算2理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数与最小正周期的意义3掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式4能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明5了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质会用“五点法”
2、画正弦函数、余弦函数和函数yAsin(x)的简图，理解A，的物理意义6会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示角Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 命题探究1.从近几年的高考试题来看，涉及此部分知识的考题，一般以选择、填空题的形式出现，同时还常和数列、不等式、向量、立体几何以及解析几何等相结合，考查的重点是三角函数的图象和性质2命题侧重于以下几个问题：三角函数的图象及其变换；三角函数的求值问题；三角函数的定义域、值域、最值问题；有关周期问题、单调区间问题、对称问题这些仍将是未来高考命题的热点跨学科应用是三角函数的鲜明特点，它常
3、与其他知识结合考查，单独考查本部分知识的试题多以选择、填空题形式出现，试题难度不大.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第一节 三角函数的概念Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.了解任意角的概念、弧度的意义2能正确地进行弧度与角度的换算3理解任意角的正弦、余弦、正切的定义4了解余切、正割、余割的定义考试热点1.以选择题或填空题的形式考查任意角的三角函数的定义、三角函数值在各象限内的符号、半角或角所处的象限等问题2以集合的交、并、补的计算为载体，考查角的关系.Copyright
4、 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1角的概念(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360的整数倍(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为x|x2k，kZ，也可以表示为x|x2k，kZCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2弧度制的有关问题(1)角的概念推广之后，无论是用角度制还是用弧度制来表示，都能在角的集合与实数的集合之间建立一个一一对应关系每一个角都有唯一的实数和它对应；反过来，每一个实数，也都有唯一的角和它对
5、应(2)在表示角的同一个表达式中，角度制和弧度制两种制度不能混用，如与30角终边相同的角不能表示为|k360，kZ或|2k30，kZCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3任意角的三角函数设 是一个任意角，的终边上任意一点 P(x，y)与原点的距离是 r(r x2y20)，则 sinyr，cosxr，tanyx称为角 的正弦、余弦、正切，它们都可以看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，所以都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数注意以下几点：Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (1)上述三个比值不随点P在终边上的位置改变
6、而改变；(2)三角函数在各个象限内的符号：(3)在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多对一，即给定一个角，它的各个三角函数值是唯一确定的(不存在的情况除外)；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应，如：0时，sin0，但当sin0时，2k，kZ.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4单位圆中的三角函数线(1)单位圆中的三角函数线实质是三角函数的一种几何定义，它和三角函数的坐标定义相辅相成，体现了数形结合的思想(2)要特别注意三角函数线的方向，即其数量取值的正负当有向线段的方向与x轴、y轴的正方向相同时值为正；当有向线段的方向与x轴、y轴的正方向相反时值为负
7、；而正切线的起点是单位圆与x轴的正半轴的交点，终点是从单位圆与x轴的正半轴的交点所作的圆的切线与角的终边或其反向延长线的交点Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1已知是第三象限角，则是()A第二象限角 B第四象限角 C第二或第三象限角 D第二或第四象限角Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：由 2k2k32，kZ 得 k22k34，kZ.对 k 分奇偶讨论：当 k2n，nZ 时，2为第二象限角；当 k2n1，nZ 时，2为第四象限角 答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2设角终边上一点P(4a,3a)(a0)，
8、则2sincos值为()答案：CCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3扇形周长为6，面积为2，则其圆心角的弧度是_ 解析：设半径为r，弧长为l.答案：1或4Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4已知02，点P(sincos，tan)在第一象限，则 的取值范围是_Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5写出终边在下列阴影部分内的角的集合(如图1)图1Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)0,2上满足条件的区间为4，34，所有角的集合为2k4，2k34(kZ)(2)仿(1)得2k6，2k32k76
9、，2k43(kZ)，可化简为k6，k3(kZ)(3)(2k53，2k136)也可表示为(2k3，2k6)，(kZ)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 角的概念与表示 例1 已知为第一象限角，试确定是第几象限角 分析 先由的范围，得出的范围后，但需对k分奇、偶数讨论Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 所以2为第一象限角；当 k2n1 时，2n22n54，所以2为第三象限角，以上各式均有 kZ，nZ，所以2为第一、三象限角Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法2：将
10、单位圆平均分成248份(如图2所示)，按一、二、三、四且是逆时针顺序标号，得到的“一”所在的阴影部分所示的象限，就是所在象限，即为第一、三象限角图2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 利用终边相同角的表示，可以由角 所在的象限，判断2，3，4等所在的象限，常用以下两种方法：(1)解法 1(范围限定法)：将 的范围用式子表示出来，然后求出2，3，4等角的范围根据此范围进行判断，此时需要进行分类讨论(2)解法 2(图示法)：把直角坐标系中的各个象限依次进行二等分、三等分、四等分，从 x 轴右上方开始按逆时针将各区域依次标上 1,2,3,4；1,2,3,4；，是第几
11、象限角就找数字几，其对应的位置就是2，3，4，所在的象限Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知为第三象限角，试判断：(1)2，分别是第几象限角？Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：为第三象限角，2k32 2k(kZ)(1)24k234k，2 是第一象限或第二象限的角或角的终边在 y 轴的非负半轴上2k234 k(kZ)当 k2n(nZ)时，22n234 2n，则2是第二象限角当 k2n1(nZ)时，32 2n20，cos20，sin2cos20；若2是第四象限角，则 sin20，sin2cos20.综上可知，sin2cos20.Copyri
12、ght 2004-2009 版权所有 盗版必究 例 2(1)判断下列各式的符号：sin340cos265；sin4tan234 ，sin(cos)cos(sin)(其中已知|cos|cos，且 tan0)(2)判断下列各式中角 的终边所在的象限：sintan0 且 sincos0.三角函数的符号判定 分析 确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析因式的符号，则关键是看角所在的象限Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)340是第四象限角，265是第三象限角，sin3400，cos2650.432，4 弧度角是第三象限角234 64，234 弧度角是第一象限角，s
13、in40，sin4tan234 0.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 由|cos|cos，得 cos0.角 的终边在第二、三象限或 y 轴上或 x 轴的负半轴上又 tan0，角 的终边在第二、四象限，综上知角 的终边在第二象限，易知1cos0,0sin0，sin(cos)0，故sin(cos)cos(sin)0.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)sintan0，0或sin0，的终边在第二或第三象限tansincos0，sincos0.又sincos0，sin0 且 cos0，角 的终边在第一象限Copyright 2004-2009 版权
14、所有 盗版必究 拓展提升 本题考查三角函数值在各象限的符号，(1)是根据角所在的象限，确定各三角函数值的符号，进而确定三角函数式的符号；(2)是根据三角函数式的符号，确定角所在的象限或求出角的范围，三角函数在各个象限的符号可以用“一全正，二正弦，三两切，四余弦”来确定它的符号Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 若是第二象限的角，则的符号是什么？Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 弧长公式和扇形面积公式 例3 已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当
15、为多少弧度时，该扇形有最大面积Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)扇形周长 C2Rl2RR，R C2，S 扇12R212C22C22 1442C22 144C216.当 4，即 2(2 舍去)时，扇形面积有最大值C216.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 涉及弧长和扇形面积的计算可用的公式有角度和弧度表示的两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知扇形OAB的中心角为4弧度，其面积为2平方厘米，求扇形周长和弦AB的长图3Copyrigh
16、t 2004-2009 版权所有 盗版必究 由得r1，l4，扇形的周长为l2r4216(cm)如图3，作OHAB于H，则AB2AH 2rsin(2)2sin2(cm)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 单位圆的应用 例4 利用单位圆中的三角函数线 分析(1)在单位圆中描画出sinx0，cosx 的终边所在区域(2)可利用平面几何的结论Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)考虑对数式、根式有意义的条件，可得sinx0，且 12cosx0，在单位圆中画出 cosx12，对应的区域(如图 4 甲)，图为 sinx0 对应区域在 x 轴上方，所以定
17、义域为2k3，2k)(kZ)(2)解法 1：如图 4 乙所示，在OPQ 中，OP1，OQcosx，QPsinx，由三角形的两边之和大于第三边，则 sinxcosx1.图4Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法 2：如果将 sinxcosx 改写成 sinxcosx2sin(x4)，在单位圆中画出正弦线 sin(x4)(注意4x434)，则 22 sin(x4)1,10，tanx11，且2sinx10.即 如图5所示，函数的定义域为Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1在角的表示中注意角
18、度制和弧度制不能在同一角的表示中使用，同时要熟练掌握扇形的弧长公式l(其中n为圆心角的度数)，l|R(为圆心角的弧度数)，扇形的面积公式 2要确定角所在象限，只要把表示为2k0(kZ,002)，由0所在象限即可判定出所在的象限由已知角的范围求复合角的范围时，通常要用不等式的性质来解决，切忌扩大角的范围Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律来解题，并且注意分类讨论思想的运用以及三角函数值符号的选取 4要理解单位圆中的三角函数线并能灵活运用，这是解三角题的基本功，要熟记某些特殊角的三角函数值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究