1、高考资源网（） 您身边的高考专家北京市第一七一中学2019-2020学年度第一学期高二数学12月月考考试一、选择题1.已知向量，则（ ）A. 6B. 7C. 9D. 13【答案】C【解析】【分析】求出坐标，按空间向量数量积坐标运算，即可求解.【详解】，.故选:C.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.2.设抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由抛物线方程得到，再由抛物线定义，即可求出结果.【详解】解：因为抛物线方程，所以，由抛物线的定义可得：故选【点睛】本题主要考查求抛物线上的点到焦点距离，熟记抛物线的定义即可，属
2、于基础题型.3.已知等差数列的前15项和，那么等于A. 6B. 10C. 12D. 15【答案】A【解析】【分析】推导出，由此能求出的值【详解】等差数列的前15项和，解得故选A【点睛】本题考查等差数列中两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4.设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】A【解析】【详解】,选A.5.已知椭圆的一个焦点是，那么实数A. B. C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】通过椭圆的焦点，确定，利用a，b，c的关系，求出k的值即可【详解】因为椭圆的一个焦点是，所以，所以，故选D【点睛】本题考查椭圆的标准方程
3、及简单性质，属于基础题6.已知为数列的前n项和，那么A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出【详解】时，可得：，化为时，数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为那么故选C【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.“直线平面”是“直线在平面外”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线l在平面外则直线l与平面平行或相交可判定“直线l与平面平行”与“直线l在平面外”的关系【详解】“直线l与平面平行”“直线l在平面外”“直
4、线l在平面外”则直线l与平面平行或相交，故“直线l在平面外”不能推出“直线l与平面平行”故“直线l与平面平行”是“直线l在平面外”的充分非必要条件故选A【点睛】本题主要考查了线面的位置关系，以及充要条件的判定，熟悉定理是解题的关键，同时考查了分析问题的能力，属于基础题8.已知为直线l的方向向量，分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中：；正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】直接利用直线的方向向量与平面的法向量的关系，即可判断详解】平面，不重合；平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行垂直；正确；直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l垂直平行于平面
5、；都错误故选B【点睛】考查了对平面的法向量概念及直线的方向向量概念的理解，属于基础题9.三棱柱的侧棱与底面垂直，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论详解】如图，以AB，AC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则0，平面ABC的一个法向量为0，设直线PN与平面ABC所成的角为，当时，此时角最大故选A【点睛】本题考查了向量法求线面角的求法，考查了函数最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用10
6、.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推那么该数列的前50项和为A. 1044B. 1024C. 1045D. 1025【答案】A【解析】【分析】将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，第三组：，第k组：，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：，第二组：，第三组：，第k组：，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：，每项含有的项数为：1，2，3，k，总共的项数为，当时，故该数列的前50项和为故选A【点睛】本题考查类比推理
7、，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题二、填空题11.设等差数列的前n项和为，若 ，则_，的最小值为_【答案】 (1). 0 (2). -10【解析】【分析】根据等差数列的基本量的运算求出公差，可分析出数列项的符号变化规律，即可求解.【详解】等差数列中,得,公差,由等差数列的性质得时,时,大于0,所以的最小值为或,即为.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n项和的最值，属于中档题.12.已知双曲线C与椭圆的焦点相同，且双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为_【答案】【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程
8、，转化求解即可【详解】解：双曲线C与椭圆的焦点相同，即，直线，为双曲线C的一条渐近线，可得，又，可知，则双曲线C的方程是：故答案为【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线法方程的求法，考查计算能力13.已知抛物线C的顶点在原点，准线方程为，则抛物线C的标准方程为_【答案】【解析】【分析】由题意可设抛物线C的方程为，由已知准线方程为可解得p，则抛物线方程可求【详解】由题意可设抛物线C的方程为，准线方程，解得抛物线C标准方程为故答案为【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，是基础的计算题14.正方体的棱长为,若动点在线段上运动, 则的取值范围是 【答案】【解析】【详解】试题分
9、析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系则、点在线段上运动，且，故答案为考点：空间向量数量积的运算.15.已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若是等边三角形，则这个椭圆的离心率是_【答案】【解析】【分析】根据是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到是正三角形的高，在中，设，可得，所以，用勾股定理算出，得到椭圆的长轴及焦距，得到椭圆的离心率【详解】是正三角形，直线AB与椭圆长轴垂直，是正三角形的高，中，设，因此，椭圆的长轴，焦距椭圆的离心率为故答案为【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，
10、属于基础题16.如图所示，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为时，那么线段PM的长度是_【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，易得各点坐标，设出点M的坐标，可得向量，代入异面直线所成角公式，可得点M的坐标，问题得解【详解】如图建立空间直角坐标系，则0，0，2，是棱PB的中点，1，设2-m，则，=，解得，故答案为【点睛】本题考查了向量法求解异面直线所成角，要合理建立空间坐标系写出各点的坐标是关键，难度适中三、解答题17.等差数列中，求数列的通项公式；若，分别是等比数列的第4项和第5项，试求数列的通项公式
11、【答案】；【解析】【分析】在等差数列中，由已知求得d，代入等差数列的通项公式即可；在等比数列中，分别求得第4项和第5项，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案【详解】在等差数列中，由，得，；在等比数列中，有，公比，则【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，求出基本量是关键，是基础的计算题18.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C经过点求抛物线C的标准方程；经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，求线段AB的长【答案】；15【解析】【分析】利用待定系数法求出p的值，写出抛物线C的标准方程；写出抛物线C的焦点坐标和准线方程，写出过焦点且斜率为2的直线方程，与抛物线
12、方程联立，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系求得的值，结合抛物线定义再求线段AB的长【详解】由题意设抛物线C的标准方程为，又经过点，则，解得，抛物线C的标准方程为；抛物线C的标准方程为，焦点，准线方程为；过焦点且斜率为2的直线l方程为，由，消去y，整理得，由根与系数的关系得，线段AB的长为【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与弦长问题，将直线方程椭圆方程与联立构建二次方程，运用韦达定理和弦长公式是常用方法，注意焦点弦的公式的应用，是中档题19.如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，求证：平面BDE；求直线MN到平面BDE的距
13、离；求二面角的大小【答案】见解析；【解析】【分析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BDE求出0，利用向量法得直线MN到平面BDE的距离求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量，利用向量法能求出二面角的大小【详解】在三棱锥中，底面ABC，点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，0，0，4，2，0，0，2，2，0，2，设平面BDE的法向量y，则，取，得0，平面BDE，平面BDE，0，直线MN到平面BDE的距离：平面BDE的法向量0，平面DE
14、P的法向量0，设二面角的大小为，则二面角的大小为【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.已知是等差数列，满足，数列满足，且是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和试题解析：（）设等差数列an的公差为d，由题意得d= 3an=a1+（n1）d=3n设等比数列bnan的公比为q
15、，则q3=8，q=2，bnan=（b1a1）qn1=2n1， bn=3n+2n1（）由（）知bn=3n+2n1， 数列3n的前n项和为n（n+1），数列2n1的前n项和为1= 2n1，数列bn的前n项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和21.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为，离心率为求椭圆C的方程；若过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且P点平分线段AB，求直线AB的方程；一条动直线l与椭圆C交于不同两点M，N，O为坐标原点，面积为求证：为定值【答案】；见解析【解析】【分析】设椭圆方程为，由题意可得b，运用离心率公式和a，b，c的关系可得
16、b，进而得到椭圆方程；设，运用中点坐标公式和点满足椭圆方程，作差，由直线的斜率公式可得AB的斜率，进而得到所求直线方程；设，则，分别讨论直线MN的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理即可得到所求定值【详解】设椭圆方程为，即有，即，即，由，可得，则椭圆方程为；设，点为AB的中点，可得，由，相减可得，可得，即有直线AB的方程为，化为；设，则，当直线l的斜率不存在时，M，N关于x轴对称，即，由，的面积为，可得，即有，可得；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，代入椭圆方程，可得，可得，可得，O到直线l的距离为，则，化为，即有，则，综上可得，为定值5【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线方程的求法和定值的证明，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式和点差法，考查化简整理的运算能力，属于中档题高考资源网版权所有，侵权必究！