1、天津市河北区2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i是虚数单位，复数=( )AiBiCiDi2下列命题中，真命题的是( )AxR，x20BxR，1sinx1Cx0R，0Dx0R，tanx0=23若某程序框图如图所示，则输出的P的值是( )A22B27C31D564在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若点（a，b）在直线x（sinAsinB）+ysinB=csinC上，则角C的值为 ( )ABCD5设实数x，y满足条件 ，则y4x的最大值是( )A4BC4D76已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，P（1，2）是双
2、曲线C上点，且y=x是C的一条渐近线，则C的方程为( )A2x2=1Bx2=1Cx2=1或2x2=1Dx2=1或x2=17由曲线xy=1，直线y=x，x=3所围成封闭的平面图形的面积是( )AB4ln3C4+ln3D2ln38已知函数f（x）满足：定义域为R；对任意xR，有f（x+2）=2f（x）；当x1，1时，f（x）=若函数g（x）=，则函数y=f（x）g（x）在区间5，5上零点的个数是( )A7B8C9D10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上9某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法
3、从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为_10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_11如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC=6，EC=6，则AD的长为_12在以O为极点的极坐标系中，若圆=2cos与直线（cos+sin）=a相切，且切点在第一象限，则实数a的值为_13在ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且满足（m0，n0），则当取最小值时，向量=（，）的模为_14已知，设x1，x2（x1x2）是关于x的方程|2x1|=k的两个实数根，x3，x4（x3x4）是方程|2x1|=的两个实数根，则（x4x
4、3）+（x2x1）的最小值是_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15设函数y=cos2x+2cos2（x）1，xR（1）求f（x）的最小正周期；（3）求f（x）在闭区间上的最大值与最小值16某校从2014-2015学年高二年级4个班中选出18名学生参加全国数学联赛，学生来源人数如表：班别2014-2015学年高二（1）班2014-2015学年高二（2）班2014-2015学年高二（3）班2014-2015学年高二（4）班人数4635（I）从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班的概率；（）若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自2
5、014-2015学年高二（1）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望E17如图，三棱柱ABCA1B2C3的底面是边长为4正三角形，AA1平面ABC，AA1=2，M为A1B1的中点（）求证：MCAB；（）在棱CC1上是否存在点P，使得MC平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由（）若点P为CC1的中点，求二面角BAPC的余弦值18已知数列an满足a1=1，an+1=1，bn=，其中nN*（）求证：数列bn是等差数列，并求出数列an的通项公式；（）设cn=，数列cncn+2的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn对于nN*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由19
6、已知椭圆G：=1（ab0）的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的弦长为1，如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AM，BM与直线l：x=4分别交于C，D两点（）求椭圆G的标准方程；（）若|CD|=4，求点M的坐标；（）记MAB和MCD的面积分别为S1和S2，若=，求实数的取值范围20已知函数f（x）=3x（aR）（）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3）处的切线方程；（）当a0时，试讨论函数y=f（x）在区间（1，1）内的极值点的个数；（）对一切x（0，+），af（x）+4a2xlnx3a1恒成立，求实数a的取值范围天津市河北区2015届高考数学一模试卷（理科）
7、一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i是虚数单位，复数=( )AiBiCiDi考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数的除法运算法则化简，求解即可解答：解：复数=i故选：D点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查2下列命题中，真命题的是( )AxR，x20BxR，1sinx1Cx0R，0Dx0R，tanx0=2考点：特称命题；全称命题 专题：简易逻辑分析：根据含有量词的命题的判断方法即可得到结论解答：解：A当x=0时，x20不成立，即A错误B当x=时，1sinx1不成立，即B错误CxR，2X0，即C错误Dtanx的值
8、域为R，x0R，tanx0=2成立故选：D点评：本题主要考查含有量词的命题的真假判断，比较基础3若某程序框图如图所示，则输出的P的值是( )A22B27C31D56考点：程序框图 专题：图表型分析：根据流程图，先进行判定条件，不满足条件则运行循环体，一直执行到满足条件即跳出循环体，输出结果即可解答：解：第一次运行得：n=0，p=1，不满足p20，则继续运行第二次运行得：n=1，p=2，不满足p20，则继续运行第三次运行得：n=2，p=6，不满足p20，则继续运行第四次运行得：n=3，p=15，不满足p20，则继续运行第五次运行得：n=4，p=31，满足p20，则停止运行输出p=31故选C点评：
9、本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区2015届高考都考查到了，启示我们要给予高度重视，属于基础题4在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若点（a，b）在直线x（sinAsinB）+ysinB=csinC上，则角C的值为( )ABCD考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：由条件利用正弦定理求得 a2+b2c2=ab，再利用 余弦定理求得cosC的值，可得角C的值解答：解：在ABC中，点（a，b）在直线x（sinAsinB）+ysinB=
10、csinC上，a（sinAsinB）+bsinB=csinC，由正弦定理可得：a2ab+b2=c2，即a2+b2c2=ab，cosC=，C=，故选：B点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题5设实数x，y满足条件 ，则y4x的最大值是( )A4BC4D7考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：画出对应的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：联立可得，即A（1，0）由图可知：当过点A（1，0）时，y4x取最大值4故选C点评：本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据约束条件，画出满足约束条件的可行域并求出各角
11、点的坐标，是解答此类问题的关键6已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，P（1，2）是双曲线C上点，且y=x是C的一条渐近线，则C的方程为( )A2x2=1Bx2=1C x2=1或2x2=1Dx2=1或x2=1考点：双曲线的标准方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意设双曲线方程为y22x2=（0），把点P（1，2）代入求出，从而得到双曲线方程解答：解：由题意设双曲线方程为y22x2=（0），把点P（1，2）代入，得=2，双曲线的方程为y22x2=2，即故选：B点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用7由曲线xy=1，直线y=x，x=
12、3所围成封闭的平面图形的面积是( )AB4ln3C4+ln3D2ln3考点：定积分在求面积中的应用 专题：计算题；导数的综合应用分析：确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论解答：解：由曲线xy=1，直线y=x，解得x=1；由xy=1，x=3可得交点坐标为（3，）由曲线xy=1，直线y=x，x=3所围成封闭的平面图形的面积是S=（x）dx=（x2lnx）=4ln3故选：B点评：本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题8已知函数f（x）满足：定义域为R；对任意xR，有f（x+2）=2f（x
13、）；当x1，1时，f（x）=若函数g（x）=，则函数y=f（x）g（x）在区间5，5上零点的个数是( )A7B8C9D10考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：根据条件关系，求出函数f（x）的表达式，作出f（x）与g（x）的图象，利用数形结合判定两个函数图象的交点即可的结论解答：解：对任意xR，有f（x+2）=2f（x）；若x1，3，则x21，1，此时f（x）=2f（x2）=2，当x3，5，则x21，3，此时f（x）=2f（x2）=2，当x3，1，则x+21，1，此时f（x）=f（x+2）=，当x5，3，则x+23，1，此时f（x）=f（x+2）=，作出函数f（x）与g（
14、x）的图象，由图象可知，两个图象有10个交点，即函数y=f（x）g（x）在区间5，5上零点的个数是10个，故选：D点评：此题考查了函数与方程的知识，考查了转化与化归和数形结合的数学思想，由函数的三条件基本性质进行分解，从而确定出函数f（x）在5，5上的分段函数解析式，作出函数图象是本题的突破点难度较大二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上9某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：根
15、据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论解答：解：用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为=16人，故答案为：16点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为6+4考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱和三棱锥组成的组合体，分别求出两者的体积，相加可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆柱和三棱锥组成的组合体，半圆柱底面半径R=2，高h=3，故半圆柱的体积为：=6，三棱锥的底面是两直角边长为
16、2和4的直角三角形，高为3，故三棱锥的体积为：=4，故组合体的体积V=6+4，故答案为：6+4点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状11如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC=6，EC=6，则AD的长为考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；推理和证明分析：连接DE，证明DBECBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD，根据割线定理得BDBA=BEBC，从而可求AD的长解答：解：连接DE，ACED是圆内接四边形，BDE=BCA，又DBE=CBA，DBECBA，即有，又AB=2AC，BE
17、=2DE，CD是ACB的平分线，AD=DE，BE=2AD，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BDBA=BEBC，即（6t）6=2t（2t+6），即2t2+9t18=0，解得t=或6（舍去），则AD=故答案为：点评：本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12在以O为极点的极坐标系中，若圆=2cos与直线（cos+sin）=a相切，且切点在第一象限，则实数a的值为1+考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果解答：解：圆=2c
18、os，转化成：2=2cos进一步转化成直角坐标方程为：（x1）2+y2=1，把直线（cos+sin）=a的方程转化成直角坐标方程为： x+ya=0由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径则：解得：a=1由于切点在第一象限，则负值舍去故：a=故答案为：点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用13在ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且满足（m0，n0），则当取最小值时，向量=（，）的模为考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：根据平面向量基本定理求出m，n关系，进而确定+取最小值时m，n的值，代入求的模解答：
19、解：，=m+n=m+4n，又P为BE上一点，不妨设（01），=+=+（）=（1）+，m+4n=（1）+，不共线，所以m+4n=1+=1=（）（m+4n）=5+4+5+2=9（m0，n0）当且仅当即m=2n时等号成立，又m+4n=1，m=，n=，|=，故答案为：点评：本题考查平面向量基本定理和基本不等式求最值，难点在于利用向量求m，n的关系和求+的最值14已知，设x1，x2（x1x2）是关于x的方程|2x1|=k的两个实数根，x3，x4（x3x4）是方程|2x1|=的两个实数根，则（x4x3）+（x2x1）的最小值是log23考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：作出函数y
20、|2x1|的图象，利用数形结合确定（x4x3）和（x2x1）的最小值即可得到结论解答：解：作出函数y=|2x1|的图象如图：由图象知当k=时，x2x1最小，此时由|2x1|=，得2x1=或2x1=，即2x=或2x=，则x=log2或x=log2，即x2=log2或x1=log2，则x2x1=log2log2=log22=1，对于则当k=时，有最小值为=，则当|2x1|=时，x4x3最小，即此时2x1=或2x1=，即2x=或2x=，则x=log2或x=log2，即x4=log2或x3=log2，则x4x3=log2log2=log2，故（x4x3）+（x2x1）的最小值是log23，故答案为：l
21、og23点评：本题主要考查指数函数的应用，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，难度较大三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15设函数y=cos2x+2cos2（x）1，xR（1）求f（x）的最小正周期；（3）求f（x）在闭区间上的最大值与最小值考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=2sin（+2x），再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在闭区间上的最大值与最小值解答：解：（1）函数y=cos2x+2co
22、s2（x）1=cos2x+cos（2x）=cos2x+sin2x=2sin（+2x），f（x）的最小正周期为=（3）在闭区间上，2x+，故当2x+=时，函数y取得最小值为2（）=；故当2x+=时，函数y取得最大值为21=2点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题16某校从2014-2015学年高二年级4个班中选出18名学生参加全国数学联赛，学生来源人数如表：班别2014-2015学年高二（1）班2014-2015学年高二（2）班2014-2015学年高二（3）班2014-2015学年高二（4）班人数4635（I）从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同
23、一个班的概率；（）若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自2014-2015学年高二（1）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望E考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题 专题：计算题分析：（）“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A，利用排列组合知识，能求出两人来自同一个班的概率P（A）（）的所有可能取值为0，1，2分别求出P（=0），P（=1）和P（=2），由此能求出的分布列和E解答：（本小题满分12分）解：（）“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A，则P（A）= （）的所有可能取值
24、为0，1，2P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，的分布列为：012PE=0+1+2= 点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的应用，解题时要认真审题，注意排列组合、概率等知识点的灵活运用17如图，三棱柱ABCA1B2C3的底面是边长为4正三角形，AA1平面ABC，AA1=2，M为A1B1的中点（）求证：MCAB；（）在棱CC1上是否存在点P，使得MC平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由（）若点P为CC1的中点，求二面角BAPC的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（）取AB中点O，连接OM
25、，OC，证明AB平面OMC，可得MCAB；（）建立空间直角坐标系，设P（0，2，t）（0t2），要使直线MC平面ABP，只要=0，=0，即可得出结论；（）若点P为CC1的中点，求出平面PAC的一个法向量、平面PAB的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角BAPC的余弦值解答：（I）证明：取AB中点O，连接OM，OCM为A1B1中点，MOA1A，又A1A平面ABC，MO平面ABC，MOABABC为正三角形，ABCO 又MOCO=O，AB平面OMC又MC平面OMCABMC（II）解：以O为原点，建立空间直角坐标系如图依题意O（0，0，0），A（2，0，0）B（2，0，0），C（0，2，0），
26、M（0，0，2） 设P（0，2，t）（0t2），则=（0，2，2），=（4，0，0），=（0，2，t）要使直线MC平面ABP，只要=0，=0，即122t=0，解得t= P的坐标为（0，2，）当P为线段CC1的中点时，MC平面ABP（）解：取线段AC的中点D，则D（1，0），易知DB平面A1ACC1，故=（3，0）为平面PAC的一个法向量又由（II）知=（0，2，2）为平面PAB的一个法向量 设二面角BAPC的平面角为，则cos=|=二面角BAPC 的余弦值为点评：本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想
27、、化归与转化思想、函数与方程思想18已知数列an满足a1=1，an+1=1，bn=，其中nN*（）求证：数列bn是等差数列，并求出数列an的通项公式；（）设cn=，数列cncn+2的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn对于nN*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等差关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：（I）由an+1=1，bn=，作差代入bn+1bn=2，再利用等差数列的通项公式即可得出bn，进而得出an（II）cn=，可得cncn+2=2利用“裂项求和”可得：数列cncn+2的前n项和为Tn=2，假设存在正整数m，使得Tn对
28、于nN*恒成立，化为，利用数列的单调性即可得出解答：（I）证明：an+1=1，bn=，bn+1bn=2，数列bn是等差数列，首项为=2，公差为2，bn=2+2（n1）=2n=2n，解得an=（II）解：cn=，cncn+2=2数列cncn+2的前n项和为Tn=+=2，假设存在正整数m，使得Tn对于nN*恒成立，2，化为，由于数列是单调递增数列，化为3m2+3m40，解得0m，而1，0m1因此不存在正整数m，使得Tn对于nN*恒成立点评：本题考查了等差数列的通项公式、递推式的应用、“裂项求和”、数列的单调性，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题19已知椭圆G：=1（ab0）的离心率
29、为，过其右焦点与长轴垂直的弦长为1，如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AM，BM与直线l：x=4分别交于C，D两点（）求椭圆G的标准方程；（）若|CD|=4，求点M的坐标；（）记MAB和MCD的面积分别为S1和S2，若=，求实数的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）根据题意列式求得椭圆方程，（2）直线AM的斜率k显然存在，且k0，故可设直线AM的方程为y=k（x+2），由得利用条件求得（3）根据面积公式列式利用均值不等式求得解答：解：（1）由e=，得，又（c，）在椭圆上，代入得由解得a2=4，b2=1
30、，椭圆方程为（2）直线AM的斜率k显然存在，且k0，故可设直线AM的方程为y=k（x+2）由得C（4，6k）由，消去y并整理得，（1+4k2）x2+16k2x+16k24=0设M（x0，y0），则（2）x0=，从而，即M（），又B（2，0）故直线BM的方程为由得，由|CD|=4，得6k+=4，解得k=，或k=从而求得M（0，1）或M（）（3）由（1）得假设存在实数，使得S1=S2，则=当且仅当，即时，等号成立又0，故存在，使得S1=S2点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合性问题，在2015届高考中属于常考题型20已知函数f（x）=3x（aR）（）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（
31、3）处的切线方程；（）当a0时，试讨论函数y=f（x）在区间（1，1）内的极值点的个数；（）对一切x（0，+），af（x）+4a2xlnx3a1恒成立，求实数a的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（I）当a=0时，y=f（x）=3x，f（x）=2x23，可得f（3）即为切线地方斜率，又f（3）=9，利用点斜式即可得出切线的方程；（II）当a0时，f（x）=2x24ax3，=16a2+240，由f（x）=0，解得x1=0，1由x11，解得，对a分类讨论即可得出函数的极值情况（III）对一切x（0，+）
32、，af（x）+4a2xlnx3a1恒成立（x0）令g（x）=，x0，利用导数研究函数g（x）的单调性极值与最值即可得出解答：解：（I）当a=0时，y=f（x）=3x，f（x）=2x23，f（3）=15，f（3）=9，曲线y=f（x）在点（3，f（3）处的切线方程为y9=15（x3），化为15xy36=0（II）当a0时，f（x）=2x24ax3，=16a2+240，由f（x）=0，解得取x1=0，1由x11，解得因此，当a时，由f（x）=0，解得x=x1，当a时，当x（1，x1）时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增；当x（x1，0）时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减此时函数f（x）取
33、得极大值，只有一个当0时，f（x）0，此时函数f（x）在区间（1，1）内单调递减，无极值点综上可得：当a时，此时函数f（x）在区间（1，1）内取得一个极大值当0时，f（x）在区间（1，1）内无极值点（III）对一切x（0，+），af（x）+4a2xlnx3a1恒成立（x0）令g（x）=，x0，g（x）=，令g（x）0，解得，此时函数g（x）单调递增；令g（x）0，解得，此时函数g（x）单调递减当x=时，函数g（x）取得最大值，g（x）max=实数a的取值范围是点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题