1、课后素养落实(三)空间向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1若a，b，c是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是()Aa,2b,3cBab，bc，caCabc，bc，cDa2b,2b3c,3a9cD因为a，b，c是空间的一个基底，所以a，b，c不共面对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于D：a2b,2b3c,3a9c满足3a9c3(a2b)(2b3c)，所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底故选D2.如图，梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间内任意一点，设a，b，c，则向量可用a，b，c表示为()Aab2cBab2c
2、CabcDabcD由AB2CD得()ab，所以cab，故选D3若向量，的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，成为空间一个基底的关系是()ABCD2C若，为空间一组基向量，则M，A，B，C四点不共面选项A中，因为1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，但可能存在实数，使得，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面故选C4在三棱柱A1B1C1ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且a，b，c，则()AabcBabcCabcDabcD连接A1B(图略)，()()()abc，故选D5.如图，在三棱柱AB
3、CA1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，AB4，AA16.若E是棱BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为()ABCDA设a，b，c，则a，b，c构成空间的一个基底，ac，bc，cos，所以异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为.二、填空题6在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_.(用a，b，c表示)abc因为在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，所以()a()a(bc)abc.7已知a，b，c是空间的一个单位正交基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，若向量m在基底a，b，c下表示为m3a5b9c，则m在基
4、底ab，ab,3c下可表示为_4(ab)(ab)3(3c)由题意知，m3a5b9c，设mx(ab)y(ab)z(3c)，则有解得则m在基底ab，ab,3c可表示为m4(ab)(ab)3(3c)8.如图所示，在平行四边形ABCD中，AD4，CD3，ADC60，PA平面ABCD，PA6.则线段PC的长为_7由题意知120.，则，所以|22222223616923449，所以|7.三、解答题9在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，E，F分别是AD1，BD的中点(1)用向量a，b，c表示，；(2)若xaybzc，求实数x，y，z的值解(1)abc，()()(ac)(2)()()()(a
5、cbc)abc，所以x，y，z1.10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.(1)求，的余弦值；(2)求证：.解(1)，.0，0，0，2.又|，cos，.(2)证明：，()，()0，.1(多选题)在三棱锥PABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC3，G是PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BEECPFFB12，则下列说法正确的是()AEGPGBEGBCCFGBCDFGEFABD如图，设a，b，c，则a，b，c是空间的一个正交基底，则abacbc0，取AB的中点H，则(ab)ab，()cb，abbcabc，c
6、b，abba，bcb，0，A正确；0，B正确；(R)，C不正确；0，D正确故选ABD2.(多选题)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCDA1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是()AAC16BAC1DBC向量与的夹角是60DBD1与AC所成角的余弦值为AB因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，所以66cos 6018，()22222223636363218216，则|6，所以A正确；()()220，所以B正确；显然AA1D为等边三角形，则AA1D60.因为，且向量与的夹角是120，所以与的夹角是120，所以
7、C不正确；因为，所以|6，|6，()()36，所以cos，所以D不正确故选AB3如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记a，b，c，则_.(用a，b，c表示)ab()()c(abc)ab.4棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是_，线段EF的长度为_a设a，b，c，则a，b，c是空间的一个基底，|a|b|c|a，abacbca2.(ab)c，a2abaca2，|a，cos，异面直线EF与AB所成的角为.如图，在三棱锥OABC中，G是ABC的重心(三条中线的交点)，P是空间任意一点(1)用向量，表示向量，并证明你的结论；(2)设xyz，x，y，zR，请写出点P在ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明)解(1)()证明如下：()()()()(2)若xyz，x，y，zR，则点P在ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件是：xyz1，且0x1,0y1,0z1.