1、2.2.4均值不等式及其应用第1课时均值不等式学 习 任 务核 心 素 养1掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件(难点)2会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小(重点)1通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养2通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养.如图，是第24届国际数学家大会的会标它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车问题依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？知识点一重要不等式对任意实数a，b，有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立1若x2y24，则xy的最大值是()AB1C2D4Cxy2，当且仅当
2、xy时取“”知识点二算术平均值与几何平均值给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值知识点三均值不等式1均值不等式：如果a，b都是正数，那么，当且仅当ab时，等号成立2几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大1均值不等式中的a，b只能是具体的数吗？提示a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式2.均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？提示不能如a3，b4，均值不等式不成立3均值不等式的常见变形(1)当a0，b0，则ab2；(2)若a0，b0，则ab.2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意a，bR，a2b22ab，ab2均成立()(2)若a
3、0，则a22.()(3)若a0，b0，则ab.()答案(1)(2)(3)提示(1)任意a，bR，有a2b22ab成立，当a，b都为正数时，不等式ab2成立(2)只有当a0时，根据均值不等式，才有不等式a22成立(3)因为，所以ab.3.(对接教材P77习题22A)已知x0，则yx2的最小值是_22x0，0，y22，当且仅当x，即x时等号成立4.当a，bR时，下列不等关系成立的是_(填序号)；ab2；a2b22ab；a2b22ab.根据ab，成立的条件判断，知错，只有正确 类型1对均值不等式的理解【例1】给出下面三个推导过程：a，b为正实数，22；aR，a0，a24；x，yR，xy0，22.其中
4、正确的推导为()ABCDBa，b为正实数，为正实数，符合均值不等式的条件，故的推导正确；aR，a0，不符合均值不等式的条件，a24是错误的；由xy0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合均值不等式的条件，故正确均值不等式使用的条件是什么？提示利用均值不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是，要判断参数是否为正；“二定”是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等”是，一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立)1下列不等式的推导过程正确的是_若x1，则x22；若
5、x0，则x24；若a，bR，则22. 中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x时，即当x1时，x2等号成立，因为x1，所以x2.中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件 类型2利用均值不等式比较大小【例2】(1)已知a，b(0，)，则下列各式中不一定成立的是()Aab2B2C2D(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则pa2b2c2与qabbcca的大小关系是_(1)D(2)pq(1)由得ab2，A成立；22，B成立；2，C成立；，D不一定成立(2)a，b，c互不相等，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac.2(a2b2c2)2(abbcac)即a2b2c2abbcac.pq.1
6、在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件2运用均值不等式比较大小时应注意不等式成立的条件，即ab2成立的条件是a0，b0，等号成立的条件是ab；a2b22ab成立的条件是a，bR，等号成立的条件是ab.2如果0ab1，P，Q，M，那么P，Q，M的大小顺序是()APQMBMPQCQMPDMQPB显然，又因为，所以.故MPQ. 类型3利用均值不等式证明不等式【例3】已知a，b，c是互不相等的正数，且abc1，求证：9.思路点拨看到9，想到将“1”换成“abc”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明证明a，b，cR，且abc1，33322232229.当且仅当abc时取等号，a
7、，b，c互不相等，9.本例条件不变，求证：8.证明a，b，cR，且abc1，10，10，10，8，当且仅当abc时取等号，a，b，c互不相等，8.1条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系2先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法1对于任意a，bR，下列不等式一定成立的是()ABa2C2D2DA选项，当a0，且b0时不成立；B选项，当a0时
8、不成立；C选项，当a与b异号时不成立故选D2设ab0，则下列不等式中一定成立的是()Aab0B01CabCab0，由均值不等式知一定成立3设0ab，且ab1，在下列四个数中最大的是()ABbC2abDa2b2Bab，ab，2ab.0，a2b2.b(a2b2)(bb2)a2b(1b)a2aba2a(ba)0，ba2b2，b最大4不等式(x2)6(其中x2)中等号成立的条件是()Ax3Bx3Cx5Dx5C由均值不等式知等号成立的条件为x2，即x5(x1舍去)5若a0，b0且2a3，则的最大值为_因为a0，b0，所以2a32，当且仅当2a，即a，b时，等号成立，所以.回顾本节知识，自我完成以下问题：1试比较不等式a2b22ab与的区别与联系提示(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是不同的前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a0，b0即可)(2)两个不等式a2b22ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当ab时，等号成立”2使用均值不等式应注意哪几点？提示(1)均值不等式成立的条件是a0，b0.(2)常见的变形：ab2，ab，ab.(3)“当且仅当ab时，取等号”的含义：ab.(4)a，b可以是满足条件的实数，也可以是满足条件的代数式，但应保证a0，b0.