1、课后素养落实(二)空间向量的数量积运算(建议用时：40分钟)一、选择题1(多选题)下列各命题中，正确的有()A|a|Bm(a)b(m)ab(m，R)Ca(bc)(bc)aDa2bb2aABCaa|a|2，|a|，故A正确；m(a)b(ma)bmab(m)ab，故B正确；a(bc)abacbaca(bc)a，故C正确；a2b|a|2b，b2a|b|2a，故D不一定正确2.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则()ABC DB由题意得，所以11cos 60.故选B3.在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列计算结果一定不等于0的是()AB
2、CDD根据数量积的几何意义知，所求的问题即为两个向量所在的直线一定不垂直当该长方体各棱长都相等，即为正方体时，AD1B1C，故A不符合；同理，正方体中，易证AC平面BDD1，从而有ACBD1，故B不符合；事实上，对任意长方体，都有DC平面AD1，从而DCAD1，故C不符合；对于D项，连接CD1(图略)，易证BCD1为直角三角形，其中BCD190，所以CBD190，而BCB1C1，即异面直线BD1与B1C1所成的角即为CBD1，所以异面直线BD1与B1C1不垂直，即一定不为0.4.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()ABC
3、1DD因为，所以|2|2|2|2222111，所以|.故选D5在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，等于()A60B90 C135D120D，|a，|a.a2.cos，.，120.二、填空题6已知空间四边形ABCD每条边长和对角线长都等于1，点E，F分别是CD，AD的中点，则_.，60，120.又，|cos，11cos 120.7已知线段AB，BD在平面内，ABD120，线段AC，若ABa，BDb，ACc，则|_.|2|2222222a2b2c22abcos 60a2b2c2ab，|.8已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角
4、的余弦值为_，010212.易知|，|，cos，.三、解答题9.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60，M是PC的中点，设a，b，c.(1)试用a，b，c表示出向量；(2)求BM的长解(1)M是PC的中点，()()b(ca)abc.(2)由于ABAD1，PA2，|a|b|1，|c|2，由于ABAD，PABPAD60，ab0，acbc21cos 601，由于(abc)，|2(abc)2a2b2c22(abacbc)1212222(011).|，BM的长为.10.如图，正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BD
5、PC；(2)求|的值解(1)证明：，()|cos 60|cos 120a2a20.，BDPC(2)，|2|2|2|2222a2a2a202a2cos 602a2cos 605a2，|a.1(多选题)在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列命题正确的有()A()232B()0C与的夹角为60D正方体的体积为|AB如图，()2()2232；()0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60，故与的夹角为120；正方体的体积为|.故选AB2已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1.则a与b所成的角是()A30B45 C60D90C()21，cos，.AB与CD所成的角
6、为60，即异面直线a，b所成的角为60.3.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设ADAA11，AB2，P是C1D1的中点，则_，与所成角的大小为_160法一：连接A1D，则PA1D就是与所成角连接PD，在PA1D中，易得PA1DA1PD，即PA1D为等边三角形，从而PA1D60，即与所成角的大小为60.因此cos 601.法二：根据向量的线性运算可得()21.由题意可得PA1B1C，则cos，1，从而，60.4四棱柱ABCDA1B1C1D1各棱长均为1，A1ABA1ADBAD60，则点B与点D1之间的距离为_四棱柱ABCDA1B1C1D1各棱长均为1，A1ABA1ADBAD60，2()2222222111211cos 120211cos 120211cos 602，|.点B与点D1两点间的距离为.如图，已知直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点(1)求证：CE AD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值解(1)证明：设a，b，c，根据题意得|a|b|c|，且abbcca0.bc，cba.c2b20，即CEAD(2)ac，|a|，|a|，(ac)c2|a|2，cos，.异面直线CE与AC所成角的余弦值为.