1、江苏省南京市高淳区湖滨高中2020届高三数学下学期3月网上模拟考试试题（含解析）一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.已知，则_.【答案】【解析】【分析】由平方关系以及商数关系得出，即可得出.【详解】由以及 得出故答案为：【点睛】本题主要考查了平方关系以及商数关系，属于基础题.2.已知为锐角，则的值为_.【答案】【解析】【分析】先利用平方关系求得，转化条件，再利用和角公式即可得解.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查了同角三角函数平方关系与两角和的正弦公式的应用，属于基础题.3.已知函数的部分图象如图所示，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由图象可得，进而可得，再利用图
2、象一个最高点的纵坐标为，即可得解.【详解】由图象可得即，又图中的最高点的横坐标为，又 ，.故答案：.【点睛】本题考查了根据三角函数的图象求参数的值，属于基础题.4.在中，角，所对应的边分别为，.已知，则=_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理结合题意得，由两角和正弦公式可得，再利用正弦定理即可得解.【详解】由正弦定理得，即，即，.【点睛】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式的应用，属于基础题.5.若直线与圆相交于，两点.若为直角三角形，则_.【答案】1或9【解析】【分析】由题意得圆的圆心为点，半径，再转化条件得圆心到直线的距离，由此列出方程即可得解.【详解】由题意圆，圆心为点，半径，为直角三
3、角形，圆心到直线的距离为，解得或9.故答案为：1或9.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，考查了方程思想，属于基础题.6.将函数的图象向左平移个单位，若所得的图象关于直线对称，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由题意得，再根据函数的对称轴可得，即可得解.【详解】由函数的平移规律得即，函数的图象关于对称，.，又 ，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的性质和图象变化，属于基础题.7.如图，在平行四边形中，已知，则的值是_.【答案】18【解析】【分析】由图形得，则可转化条件得，再根据即可得解.【详解】，.故答案为：18.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算和数量积的应用
4、，属于基础题.8.如图所示，已知长方体的体积为，为线段上的一点，棱锥的体积为，则的值为_.【答案】6【解析】【分析】设，易得，再由长方体的性质可得，即可得解.【详解】设，则，又 平面平面，又 ，.故答案为：6.【点睛】本题考查了立体图形的体积计算，属于基础题.9.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其底面半径应为_.【答案】【解析】【分析】由题意得，令，求导得到最大值后即可得解.【详解】设圆锥的高为，底面半径为，由题意得，令，则，得，当时，单调递增，当时，单调递减.当时，最大即最大，此时.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数思想，属于中档题.10.设，过定点的动
5、直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是_.【答案】10【解析】【分析】由题意、，与垂直，利用基本不等式即可得解.【详解】过定点，过定点，且与垂直.，当且仅当时，等号成立.的最大值为10.故答案为：10.【点睛】本题考查了直线方程的应用和基本不等式的应用，属于中档题.11.已知是双曲线的右焦点，是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意得，转化条件得，再通过即可得到，即可得解.【详解】经过点且与轴垂直，为锐角，.，即，即，解得.又 ，故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线离心率取值范围的求解，考查了转化化归
6、思想，属于中档题.12.在中，是的外心，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】转化条件得，建立直角坐标系，求出出、三点的坐标后，再求出O点坐标，列方程组即可得解.【详解】，.如图建系，则，.的中垂线为，设圆心，则，解得，点.由，得，解得，.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用和平面向量线性运算的坐标表示，属于中档题.13.已知，是圆上的动点，是圆上的动点，那么的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由题意得在圆上，则，数形结合即可求出的取值范围，即可得解.【详解】由题意可得是圆心为半径为2的圆，是圆心为半径为1的圆，设中点为，由垂径定理得，在圆上，又 ，由图可知，的范围为.故答
7、案为：.【点睛】本题考查了与圆有关的范围问题，考查了转化化归思想，属于中档题.14.在中，已知则最大值为_.【答案】【解析】【分析】转化条件得，则，利用基本不等式即可求得的最小值，求出此时的即可得解.【详解】，即，即，当且仅当时取“=”.此时，为锐角，且最大.，.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量数量积的概念、余弦定理的应用、基本不等式的应用以及三角函数的以值求值，属于中档题.二、解答题:本大题共6小题，计90分.应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知且，.（1）求的值;（2）求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系可得，进而可得，再利用
8、即可得解；（2）由可得，根据、的取值可确定、的取值范围，进而可确定的取值范围，即可得解.【详解】（1），又，.（2）由，.【点睛】本题考查了三角函数的以值求值、以值求角，考查了三角恒等变换的应用，属于中档题.16.如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，为的中点，平面平面.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接MO，由中位线的概念可得，即可得证；（2）由余弦定理证明，由面面垂直的性质可得平面，即可得，即可得证.【详解】证明：（1）如图，连接AC，交BD于O，连接MO， 底面为菱形，O为AC中点，又 为的中点，又
9、 平面，平面，平面.（2）为的中点，设，在中， ，,又 平面平面且平面平面，平面，由平面可得，又 ，.【点睛】本题考查了线面平行的判定、线面垂直和面面垂直的性质，属于中档题.17.在中，设角，的对边分别为，.已知（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）转化条件得，再利用余弦定理即可得，即可得解；（2）由正弦定理得，由三角形内角和得，化简即可得，利用三角函数的性质即可得解.【详解】（1），即，又，.（2）由正弦定理，得，又，.即的取值范围为.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了三角恒等变换的应用，属于中档题.18.已知圆过原点，圆心在射
10、线，且与直线相切.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点.若求直线的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设圆心，由圆过原点且与直线相切可得方程，解方程即可得解；（2）当直线斜率不存在时，易得不合题意；若直线斜率存在，设，联立两直线方程得，转化条件得，即可得方程，解方程即可得解.【详解】（1）圆心在射线上，设，又圆过原点，且与相切，即即，.，半径，圆的方程为.（2）若的斜率不存在，则，代入，得，即.代入，得，.即，.，不合题意.若的斜率存在，设，由，得，即，是的中点，即.又，解得.的方程为.【点睛】本题考查了圆的标准方程的求解和直线与圆的交点问
11、题，考查了平面向量数量积的应用，属于中档题.19.已知椭圆过，两点，其中为椭圆的离心率.过点作两条直线，与椭圆的另一个交点分别为，且与的斜率之积为-2.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线恒过一个定点.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得，再结合椭圆的性质即可得解；（2）设的斜率为，则的斜率为，联立方程组可得、，表示出后即可表示直线的方程，化简即可得证.【详解】（1）椭圆过，解得，椭圆的方程为.（2）证明：设的斜率为，则的斜率为，由，得，又，即，同理，.即，即，直线恒过定点.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的确定和直线与椭圆交点的问题，考查了计算能力，属于中档题.20.设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，.（1）求椭圆的离心率；（2）若的面积为，求椭圆的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题意得，设，联立得，再由可得，化简即可得解；（2）由弦长公式表示出，根据点到直线的距离表示出高，再由面积化简即可得解.【详解】（1）设，的倾斜角为，.设，则，.由，得.由，得，又，又，即，即，.（2）由（1）知.又到的距离，椭圆的方程为.【点睛】本题考查了椭圆离心率和标准方程的确定，考查了直线与椭圆交点问题，考查了计算能力和方程思想，属于中档题.