1、1.2.1任意角的三角函数（1） 一、教学目标重点: 任意角三角函数的定义.难点：用角终边上的点刻画三角函数知识点：三角函数的定义、三角函数的定义域、三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一.能力点：通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力和运用数形结合思想、化归与转化思想能力.教育点：经历知识的“发现”过程，获得“发现”的经验，体会“发现”的乐趣，培养学生严谨治学精神.自主探究点：三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号.考试点：利用三角函数的定义求值、三角函数值的符号判定、利用诱导公式一求值.易错易混点：已知角终边上一点的坐标
2、，求角的三角函数值，含字母参数时，符号的确定问题.拓展点：观察课本图1.2-7，能否用线段表示三角函数值.二、引入新课思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？【师生活动】教师引导：请同学们把给定锐角放在直角坐标系中，研究其正弦、余弦、正切（给出投影，见课本图1.2-1）学生求解：观察课本图1.2-1，在锐角的终边上任取一点，根据锐角三角函数定义写出锐角三角函数的正弦、余弦、正切.，教师提出探究性问题：锐角三角函数的这些坐标表示，形式上与点的坐标值有关，点的位置不同，表示式中的，不同，但实际上作为
3、锐角三角函数的值与终边上点的坐标值有关吗？请同学们交流、讨论.学生探究: 利用相似三角形的知识，不难得出、的值与终边上点的坐标值无关的结论.教师引导：为了表示角的三角函数的值，可在终边上取一个“比较好”的特殊点，同学们认为哪个点比较好？师生共同分析得出：将的终边与单位圆的交点作为这个特殊点来表示三角函数值比较好，形式简单（介绍单位圆）！，【设计意图】 由直角坐标系中角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数，为任意角三角函数的定义做好准备.【设计说明】教师以问题引导，让学生自主探究和合作交流，经历知识的形成过程.三、探究新知师：到目前为止，我们在角和函数方面做了两方面的工作，一是推广了角的概念，
4、二是给出了锐角三角函数的坐标表示，那么，将这两个工作结果结合起来，你能给任意角定义各三角函数吗？请交流讨论给出你们的观点.生：同桌之间交流、讨论、思考、探究，多数学生能猜测出任意角的三角函数的坐标表示.师生总结：通过让学生发表各自观点，总结出任意角三角函数的定义如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦(sine),记做,即 ；（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；（3）叫做的正切(tangent),记做,即.说明:(1)当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义,除此情况外，对于确定的值，上述三各值都是唯一确定的实数.(2)当是锐角时，此定
5、义与初中定义相同；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.【设计意图】由锐角三角函数的坐标表示，学生猜测、总结任意角三角函数的定义，让学生积极参与知识的形成过程，培养合情猜测能力.四、理解新知在弧度制下，三角函数以角为自变量，就是以实数（弧度数）为自变量；以角终边与单位圆交点的坐标或坐标的比值为函数值，就是以实数为函数值，因此三角函数是函数的一种，是一种特殊的函数.【设计意图】准确把握三角函数定义
6、，清楚自变量是什么，对应关系有什么特点,函数值是什么.五、运用新知例1 求的正弦、余弦和正切值分析：关键是作角，进而写出与单位圆交点坐标，利用定义求解.解：在直角坐标系中，作 ，易知 的终边与单位圆的交点坐标为 .所以，变式：若把角改为呢? 答案：【设计意图】让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与图形的联系，体会数形结合的思想.例2 已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.分析：利用相似三角形将任意点转化到单位圆上点，然后利用定义求值.解:由已知可得设角的终边与单位圆交于 分别过点、作轴的垂线、，则 ，于是 ；【设计意图】将任意点转化到单位
7、圆上的点，应用定义解题，巩固对定义的理解，培养转化思想和数形结合思想.思考1：一般的，设角终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r,则，你能自己给出证明吗？【设计意图】让学生掌握三角函数的另一种定义，可由角终边上任一点确定三角函数值.思考2：如果将题目中的坐标改为题目又应该怎么做？【设计意图】让学生应用三角函数另一种定义求三角函数值，注意对参数的讨论探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表( )()( )( )( )+( )( )三角函数( )（）( )( )定义域【设计意图】通过定义的应用，
8、让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想.例3 求证：当下列不等式组成立时，角为第三象限角，反之也对 分析：从两方面证明，应用“一全正，二正弦，三正切，四余弦”符号记忆规律.证明：我们证明如果式都成立，那么角为第三象限角.因为成立，那么角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与轴的非负半轴重合;又因为，所以角的终边可能位于第一或第三象限因为式都成立，所以角的终边只能位于第三象限，于是角为第三象限角反过来，请同学们自己证明【设计意图】 通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念.探究:根据三角
9、函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有何关系?【设计意图】 引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想.例4.确定下列三角函数值的符号：（1） （2） （3） （4）分析：角绝对值较大时，先用公式一化大角为小角，再根据角所在的象限确定三角函数值符号.解:（1）因为是第三象限角，所以 ；(2)因为是第四象限角，所以；(3)因为，而是第一象限角，所以（4）巩固练习：P15 5.（2）、（4）、（6）【设计意图】 将确定函数值的符号与公式一结合，让学生熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律和公式一.例5 求下列三角函数值:(1);(2);(3)分析：先用公式一化大角的三角函数为小角
10、（）的三角函数，然后利用定义求值.解：（1）（2）（3）巩固练习：P15 7.（2）、（4）【设计意图】综合应用三角函数定义和公式一求值，培养学生问题转化意识，巩固三角函数概念理解.六、课堂小结 让学生回顾讨论，总结本节课学习内容：1知识：任意角的三角函数的定义；三角函数的定义域及三角函数值的符号；公式一.2思想：数形结合的思想、分类讨论的思想、转化思想.教师总结:任意角的三角函数是由角的终边与单位圆交点的坐标定义的，三角函数值的符号是利用三角函数的定义来推导的，诱导公式一的作用可以把大角的三角函数转化为小角的三角函数.【设计意图】 培养学生及时梳理，系统总结新知的习惯，掌握知识点的联系和思想
11、方法的灵活运用.七、布置作业 1阅读教材P1114；2.书面作业 必做题： P20 习题1.2 A组 1.（1）、（2），4，8.（1）,（2）选做题：1. 判断下列各式的符号 (1) (2) 2. 求下列各式的值(1) (2) 3课外思考 观察课本图1.2-7，能否用线段表示三角函数值.【设计意图】通过学生阅读和书面作业让学生进一步理解三角函数的概念，锻炼学生综合应用三角函数定义、公式一解决问题能力；课外思考的安排，是引起学生能否“以形示数”的思考，为下一节三角函数线的学习做好准备. 八、教后反思 1.本教案的亮点是新知引入.为了突破任意角三角函数定义这一难点，教学中在直角坐标系中考察锐角三
12、角函数，先用锐角的终边上任一点坐标表示三角函数，再特殊化到用角终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数，在此基础上定义任意角三角函数。从初中锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，揭示了新旧知识的内在联系，符合学生的认知特点.2.本教案有的题目需用到计算器，各校根据具体情况取舍.3.本节课的弱项是知识点多，例题多，没能留给学生较多时间练习，在课上及时查找不足.九、板书设计1.2.1任意角的三角函数一、引入新课锐角三角函数坐标化二、探究新知任意角三角函数的定义三、运用新知1.利用定义求三角函数值例1变式例 2 思考一思考二2.探究三角函数定义域和三角函数值符号并填表例 33.探究公式一例4例5四、课堂小结五、布置作业