1、基础诊断考点突破课堂总结第1讲 归纳与类比 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.合情推理(1)归纳推理：根据一类事物中_具有某种属性，推断该类事物中_都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.简言之，归纳推理是由_到_，由_到_的推理.归纳推理的基本模式：a，b，cM且a，b，c具有某属性，结论：任意dM，d也具有某属性.部分事物每一个部
2、分整体个别一般基础诊断考点突破课堂总结(2)类比推理：由于两类不同对象具有_，在此基础上，根据_的其他特征，推断_也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理.简言之，类比推理是由_的推理.类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性：a，b，c；结论：B具有属性d.(a，b，c，d与a，b，c，d相似或相同)(3)合情推理：根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.某些类似的特征一类对象另一类对象特殊到特殊基础诊断考点突破课堂总结2.演绎推理(1)定义：从一般性
3、的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到_的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断.特殊基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.(
4、)基础诊断考点突破课堂总结解析(1)类比推理的结论不一定正确.(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破课堂总结2.数列2，5，11，20，x，47，中的x等于()A.28B.32C.33D.27 解析 523，1156，20119，推出x2012，所以x32.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结3.正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A.结论正确B.大前提不正确 C.小前提不正确D.全不正确 解析
5、 f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提不正确.答案 C 基础诊断考点突破课堂总结4.(2015陕西卷)观察下列等式112121121314131411213141516141516 据此规律，第 n 个等式可为_.基础诊断考点突破课堂总结解析 第 n 个等式左边共有 2n 项且等式左边分母分别为 1，2，2n，分子为 1，正负交替出现，即为 112131412n1 12n；等式右边共有 n 项且分母分别为 n1，n2，2n，分子为 1，即为 1n1 1n2 12n.所以第 n 个等式可为112131412n1 12n 1n1 1n2 12n.答案 112131412n1 12n 1
6、n1 1n2 12n基础诊断考点突破课堂总结5.(教材改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，类比上述性 质，在 等 比 数 列 bn 中，若 b9 1，则 b1b2b3bn _.答案 b1b2b3b17n(n17，nN*)基础诊断考点突破课堂总结考点一 归纳推理【例 1】(1)(2016山东卷)观察下列等式：sin 32sin 2324312；sin 52sin 252sin 352sin 4524323；sin 72sin 272sin 372sin 6724334；基础诊断考点突破课堂总结sin 92sin 292sin 392sin
7、8924345；照此规律，sin 2n12sin 22n12sin 32n12sin 2n2n12_.基础诊断考点突破课堂总结(2)(2017西安模拟)观察下列式子：1 12232，1 122 13253，1 122 132 14274，根据上述规律，第 n 个不等式应该为_.解析(1)观察前 4 个等式，由归纳推理可知sin2n12sin 22n12sin 2n2n1243n(n1)4n（n1）3.基础诊断考点突破课堂总结(2)根据规律，知不等式的左边是 n1 个自然数的平方的倒数的和，右边分母是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，分子是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，所以第 n 个
8、不等式应该为 1 122 1321（n1）22n1n1.答案(1)4n（n1）3(2)1 122 1321（n1）22n1n1基础诊断考点突破课堂总结规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可.(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(1)用火柴棒摆“金鱼”
9、，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为_.(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1，3，6，10，第 n 个三角形数为n（n1）212n212n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：基础诊断考点突破课堂总结三角形数 N(n，3)12n212n，正方形数N(n，4)n2，五边形数N(n，5)32n212n，六边形数N(n，6)2n2n可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10，24)_.解析(1)由题意知：图的火柴棒比图的多6根，图的火柴棒比图的多6根，而图的火柴棒的根数为
10、26，第n条小鱼需要(26n)根.基础诊断考点突破课堂总结(2)三角形数 N(n，3)12n212nn2n2，正方形数 N(n，4)n22n20n2，五边形数 N(n，5)32n212n3n2n2，六边形数 N(n，6)2n2n4n22n2，k 边形数 N(n，k)（k2）n2（k4）n2，所以 N(10，24)22102201022 20020021 000.答案(1)26n(2)1 000 基础诊断考点突破课堂总结考点二 类比推理【例 2】(1)若 数 列 an 是 等 差 数 列，则 数 列bnbna1a2ann也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列
11、，则 dn 的表达式应为()A.dnc1c2cnnB.dnc1c2cnnC.dnn cn1cn2cnnnD.dnn c1c2cn基础诊断考点突破课堂总结(2)(2016南昌二中月考)如图(1)所示，点O是ABC内任意一点，连接 AO，BO，CO，并延长交对边于 A1，B1，C1，则OA1AA1OB1BB1OC1CC11，类比猜想：点 O 是空间四面体 VBCD 内的任意一点，如图(2)所示，连接 VO，BO，CO，DO 并延长分别交面 BCD，VCD，VBD，VBC 于点 V1，B1，C1，D1，则有_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)法一 从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何
12、平均数，故 dn 的表达式为 dnn c1c2cn.法二 若an是等差数列，则 a1a2anna1n（n1）2d，bna1（n1）2dd2na1d2，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则 c1c2cncn1q12(n1)cn1qn（n1）2，dnn c1c2cnc1qn12，即dn为等比数列，故选 D.基础诊断考点突破课堂总结(2)利用类比推理，猜想应有OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD11.用“体积法”证明如下：OV1VV1 OB1BB1 OC1CC1OD1DD1VO BCDVVBCD VO VCDVBVCD VO VBDVCVBD VO VBCVDVBC VVBCDVVBCD
13、1.答案(1)D(2)OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD11基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(2017安徽江淮十校三联)我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2 2 2中“”即代表无限次重复，但
14、原式却是个定值 x，这可以通过方程 2xx 确定出来 x2，类似地不难得到 11111()A.512B.512C.1 52D.1 52基础诊断考点突破课堂总结解析 11111x，即 11xx，即 x2x10，解得 x1 52(x1 52舍)，故 111111 52，故选 C.答案 C 基础诊断考点突破课堂总结考点三 演绎推理【例 3】数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1n2n Sn(nN*).证明：(1)数列Snn 是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1n2n Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即 nSn12(n1)Sn.Sn1n12Snn，又S
15、11 10，(小前提)基础诊断考点突破课堂总结故Snn 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知 Sn1n14 Sn1n1(n2)，Sn14(n1)Sn1n14n12n1 Sn14an(n2)，(小前提)又 a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数 n，都有 Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)基础诊断考点突破课堂总结规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.基
16、础诊断考点突破课堂总结【训练3】(2016全国卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.答案 1和3 基础诊断考点突破课堂总结思想方法1.合情推理的过程概括为从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.